Kendi çözümlerimi anlayamıyorum $\log_5(3x-1)<1$ ve $\log(6/x)>\log(x+5)$

Question

Burada iki logaritmik eşitsizlik örneğim var. Çözebilmeme rağmen, kendi sürecimi tam olarak anlayamadım.

---

$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$

$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$

Ama çözüm değil $x\in(-\infty, 2)$

Şimdi değerleri göz önüne alındığında $x$ nerede $\log_5(3x-1)$ tanımlanmış: $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$

Çözüm, kavşaktır. $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$

---

$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$

Yine çözdüm

$\frac{6}{x}> x+5$ ve $x+5>0$, gibi $x>-5$ logaritmalar için tanımlanan değerler aralığıdır. $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$

Sonra masayı yaptım ve aldım $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $

Bu sorunun çözümü şudur: $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $

---

Bu sorunun amaçları:

• Eşitsizliklerin nasıl daha iyi çözüleceğini anlayın, daha sezgisel olarak anlayın;
• Eşitsizliklerin nasıl çalıştığını anlayın, daha sezgisel olarak da anlayın;
• Cevap neden tanımlanan değerlerle "çözüm" kesişimidir;

Soru çok basitse özür dilerim, ancak herhangi bir ipucu memnuniyetle karşılanacaktır.

Answer 1

Görünüşe göre birkaç fikrin var.

Bu bizim temel tanımımız $\log_b x = y \implies x = b^y$

Eğer $y = 1$

$\log_b x = 1 \iff x = b$

İşlevin birkaç temel özelliği vardır.

İşlev "monoton bir şekilde artıyor". Yani$\log x > \log y \iff x > y$

İşlev "enjekte" dir: $\log x = \log y \iff x = y$

Ve etki alanı $\log x = (0,\infty).$ Eğer $x<0$ işlev tanımlanmadı.

Bu kelimeleri bilmenize gerek yok. Logaritma işlevi ile ilgili olduğu için çıkarımları anlamanız gerekir.

Eldeki sorunlara.

$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$ilk iki kuraldan. Ve$3x-1 > 0$ son kuraldan

Tüm bu kısıtlamaları önceden listelemenin iyi bir fikir olduğunu düşünüyorum.

Şöyle yazabiliriz: $0< 3x - 1 < 5$

$\frac 13 < x < 2$

İkinci problem için:

$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$

Neyse ki, $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ böylece son kısıtlamayı kaldırabiliriz.

Kontrast $x>0$ bize bir hizmet mi veriyor, bununla çarpabiliriz $x$eşitsizliğin işaretini çevirme konusunda endişelenmeden. X'in negatif olma ihtimali olsaydı, bunu yapamazdık.

$0 > x^2 + 5x - 6$ ve $x>0$

$0>(x+6)(x-1)$ ve $x>0$

İlk eşitsizliğin bir çözümü var $(-6,1)$ ve ikinci $(0,\infty)$

$(0,1)$ her ikisinin de geçerli olduğu aralık olacaktır.

Answer 2

Görünüşe göre bu eşitsizlikleri çözüyorsunuz. Devlet kısıtlamaları nedeniyle, Yorum önerilen olarak Belki de daha iyi olurdu ilk ve oradan inin.

Örneğin ilk soruda önce bir çözüm bulursunuz ($x<2$) daha sonra oradan kısıtlamalar uygulayın. Sanırım sizi sürecinizle karıştıran şey budur.

Logaritma verildiğinde $\log_5(3x-1)$, önce değerlerini bulmalısın $x$ doyurucu $3x-1>0$, logaritmanızda yanlışlıkla negatif bir sayı bulunmasına neden olmadığınızdan emin olmak için. Bir kez olsun$x>\frac{1}{3}$, o zaman eşitsizliğe bir çözüm aramaya başlayabilirsiniz. Bir kez olsun$x<2$, kısıtlamayı düşünmek zorunda kalmadan uygulamak sizin için kolay olacaktır.

Aynı şey ikincisi için de geçerli, ancak kısıtlamaları belirlerken soldaki logaritmayı da dikkate almadınız (yani,$x>-5$ ama anlamadın $x>0$, sizi cevaba yaklaştırır). Sanırım bu size biraz zaman kazandırırdı.

Umarım bu size yardımcı olur.