Kompakt açık alt gruplar ve kafesler arasındaki ilişki

Aug 19 2020

İzin Vermek $F$ arşimet olmayan bir yerel alan olmak, $\mathfrak o$ birimlerinin çemberi ve $\mathfrak p$benzersiz maksimal ideali. Bunu göstermek isterim$K=GL_2(\mathfrak o)$ benzersiz maksimal kompakt açık alt grubudur $GL_2(F)$ konjugasyona kadar.

Bana verilen ipuçları bunu kafeslerle ilişkilendirmeyi öneriyor ve ben pek bir ilişki görmüyorum. İpuçları aşağıdaki gibidir:

  • var olduğunu göster $K$-kararlı $\mathfrak o$-lattice (burada her şeyi alabiliriz $\mathfrak o$kafes $\Lambda$ ve daha sonra $K\Lambda$ dır-dir $\mathfrak o$-kararlı)
  • tek olduğunu göster $GL_2(\mathfrak o)$-stabil kafesler $\mathfrak p^j \oplus \mathfrak p^j$ (Sanırım bu sadece satırlar / sütunlar üzerinde işlem yapma ve değerlemelere bakma meselesidir)

Ancak, sırada ne var? Bu kafeslerin özelliklerini birbirleriyle nasıl ilişkilendireceğimi bilmiyorum.$K$ ve $GL_2(\mathfrak o)$. Yardımlarınız için şimdiden teşekkür ederiz.

Yanıtlar

TorstenSchoeneberg Aug 23 2020 at 21:58

İki kafesiniz varsa $L, L'$, bulmayı dene $g \in GL_2(F)$ öyle ki $g(L)=L'$.

Şimdi eğer $K, K'$ ilgili kafeslere karşılık gelen dengeleyici alt gruplarıdır, bunlar nasıl ilişkilidir, yukarıdakileri kullanarak $g$?