Kompakt, karmaşık bir yüzeyde, her holomorfik 1-form kapalıdır

Aug 17 2020

Kompakt, karmaşık bir manifold verildiğinde $X$ iki boyutlu, sonra her holomorfik 1-form $\omega\in H^{0}(X,\Omega^{1})$ tatmin eder $d\omega=0$. Bu sorunu basit bir yöntemle nasıl çözeceğimi bilmek istiyorum.

Yanıtlar

6 AGlearner Aug 18 2020 at 01:55

Ne zaman $X$ kompakt Kahler, ardından Hodge teoremi, $H^0(X,\Omega^1)\cong H^{1,0}(X)$ hepsi harmonik formlarla temsil edilir, özellikle her holomorfik $1$-formlar harmoniktir, çok kapalı.

Genel olarak, birlikte çalışalım $X$kompakt karmaşık bir yüzey. İzin Vermek$\omega$ üzerinde holomorf 1-form $X$, sonra Stokes teoremi ile,

$$\int_{X}d\omega\wedge d\bar{\omega}=\int_Xd(\omega\wedge d \bar{\omega})=0.\tag{1}\label{1}$$

Öte yandan, yazın $d\omega=fdz_1\wedge dz_2$ yerel olarak $f$ holomorf, yani $$d\omega\wedge d\bar{\omega}=-|f|^2dz_1\wedge d\bar{z}_1\wedge dz_2\wedge d\bar{z}_2=4|f|^2dx_1\wedge dy_1\wedge dx_2\wedge dy_2,$$

ile $z_j=x_j+iy_j$, $j=1,2$. Şimdi durum$(\ref{1})$ ima eder $f=0$, yani $d\omega=0$.