Kovaryansı doğru bir şekilde hesaplamak için 'Kovaryans' işlevi nasıl kullanılır?

Aug 18 2020

Not: Aşağıdaki sorular 2005 Çin Lisansüstü Matematik Giriş Sınavının (ilk set) 23. sorusundandır :

Varsayalım $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ popülasyondan basit bir rastgele örneklemdir $\mathrm{N}(0,1)$, ve $\bar{X}$ örnek ortalamadır ($\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$), $Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$, $i=1,2, \cdots, n $.

Şimdi aşağıdaki sorunları çözmemiz gerekiyor:

(1) Varyans $D Y_{i}$ nın-nin $Y_{i}$,$i=1,2, \cdots, n $.

(2) kovaryans $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ nın-nin $Y_{1}$ ve $Y_{n}$.

n = 10Bu sorunu çözmek için özel bir durum olarak kullanıyorum :

Y1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y1]
Y10 = TransformedDistribution[x[10] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y10]
Covariance[Y1, Y10]
Correlation[Y1, Y10]

Ama yukarıdaki kod kovaryansını alamayan Y1ve Y10doğru (referans cevaptır$-\frac{1}{10}$). CovarianceBu sorunu çözmek için işlevi nasıl kullanabilirim ?

Yanıtlar

3 JimB Aug 18 2020 at 11:06

Rastgele değişkenleri dağılımlarından ayıran gösterimler kullanmalısınız. Aşağıdaki kod size istenen varyansları ve kovaryansları vermelidir:

n = 10; 
distY1Yn = TransformedDistribution[{x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n}, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Covariance[distY1Yn]
(* {{9/10, -(1/10)}, {-(1/10), 9/10}} *)
Correlation[distY1Yn]
(* {{1, -(1/9)}, {-(1/9), 1}} *)

distY1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distY1]
(* 9/10 *)

distYn = TransformedDistribution[x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distYn]
(* 9/10 *)