Kovaryant ve kontrovaryant bazlar türevi

Question

Bunu nasıl gösteririm

$\overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial_\mu \overrightarrow{\textbf{e}}_\nu = \overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial^\mu \overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$

nerede $\overrightarrow{\textbf{e}}_\nu$ ve $\overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$ bazı manifoldun temel ve ikili temel vektörü nedir?

Herhangi bir öneri?

Teşekkür ederim!

Answer 1

Bu iddiayı nerede buldunuz? İlk ifade${\bf e}_\sigma\cdot \partial_\mu{\bf e}_\nu$kovaryaint değildir. Onun yerine biri yazarsa${\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu$ Christoffel sembolü şu şekilde tanımlandığı için mantıklıdır: $$ \nabla_\mu {\bf e}_\nu = {\bf e}_\tau {\Gamma^\tau}_{\nu\mu} $$ verme

$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu= g_{\sigma\alpha} {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} $$ Ve birlikte $\nabla^\mu = g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha $ ve kovaryant türevin bir ortak vektör üzerindeki etkisiyle $\nabla_\alpha {\bf e}^\nu= - {\bf e}^{\tau}{\Gamma^\nu}_{\tau\mu}$ anlıyoruz $$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla^\mu{\bf e}^\nu = {\bf e}_\sigma (- {\bf e}^{\tau}){\Gamma^\nu}_{\tau\beta}g^{\beta\mu}=-{ \Gamma^\nu}_{\sigma \beta}g^{\beta\mu}. $$ Yani en azından eksi işaretiyle farklılık gösterirler.

(Düzenlemeye devam ettiğim için üzgünüm - saçma hatalar yapmaya devam ediyorum)