Kromatik polinomun dönüşümünü içeren bir sınırda

Question

Kromatik polinomla oynuyordum (burada $\chi_G(x)$) ve aşağıdaki varsayımı yaptım.

İzin Vermek $(G_n)_{n \ge 1}$ bir dizi grafik olmak $v(G_n) \to \infty$ ($v(G_n)$ köşe noktalarının sayısını gösterir $G_n$) ve $e(G_n) \to \infty$ ($e(G_n)$ kenarların sayısını gösterir $G_n$).

Her biri için $x \neq 0$, aşağıdaki kromatik polinom dönüşümünü tanımlayalım $G_n$ $$ \psi_{G_n}(x) = \frac{x^{v(G_n)}}{e(G_n)^{v(G_n)}} \chi_{G_n}\left( \frac{e(G_n)}{x} \right). $$

Varsayım, her sabit gerçek sayı için $x \neq 0$, sahibiz $\psi_{G_n}(x) \to \exp(-x)$ gibi $n$ sonsuza gider.

Birkaç grafik dizisi için varsayımı kontrol ettim: örneğin, $G_n$ tam grafik olmak $K_n$, için $G_n$ ağaç olmak $n$ köşeler ve için $G_n$ koleksiyonu olmak $n$ bağımsız kenarlar (eşleşme $2n$ köşeler).

Bunun iyi bilinip bilinmediğini bilen var mı?

Not: Koşulların açık olup olmadığından emin değilim $v(G_n)$ ve $e(G_n)$doğru olanı. Bununla ilgili herhangi bir yorum da memnuniyetle karşılanmaktadır.

Answer 1

Burada belki birisinin titizlikle ifade edebileceği sezgisel bir argüman var. yazıyorum$v_n=v(G_n)$ ve $e_n=e(G_n)$. İzin Vermek$$ \chi_{G_n}(x) = x^{v_n}-c_{n,v_n-1} x^{v_n-1}+c_{n,v_n-2}x^{v_n-2}-\cdots. $$ Sabit olduğunu iddia ediyorum $k\geq 0$, $$ \lim_{n\to\infty} \frac{c_{n,v_n-k}}{e_n^k} = \frac{1}{k!}. $$ Bunu (örneğin, Kırık Devre Teoremi ile şunu gösteren) not ederek kanıtlayabiliriz. $c_{n,v_n-k}$ daha fazla kenar ekledikçe artar $G_n$) $c_{n,v_n-k}$ aşağıda değeri ile sınırlandırılmıştır $G_n$ bir ağaçtır ve yukarıda değeri ile sınırlandırılmıştır. $G_n$tam bir grafiktir. İddia edilen sonuç, ağaçlar ve tam grafikler için kolayca doğrulanabilir (ikinci durumda, birinci tür Stirling sayıları için bilinen asimptotikler kullanılarak). Belki daha doğrudan bir kanıt vardır, ancak her durumda, limitleri ve meblağları birbiriyle değiştirmeyi gerekçelendirme konusunda endişelenmezsek,$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x^{v_n}}{e_n^{v_n}}\chi_{G_n}\left( \frac{e_n}{x}\right) = \sum_{k\geq 0} \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^k c_{n,v_n-k}x^k}{e_n^k} $$ $$ \qquad = \sum_{k\geq 0} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = \exp(-x). $$