Levy'nin süreklilik teoremini kullanarak dağıtımda yakınsamayı kanıtlama
Şu soruyu çözmeye çalışıyorum - (a) ve (b) bölümleri yapı olarak çok benzer görünüyor, ancak (b) bölümünü çözemiyorum:
Benim girişimim:
Bölüm (a) için Levy'nin süreklilik teoremini uyguluyoruz. Düzelt$u \in \mathbb{R}$ ve not $$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$
bağımsızlığı ile $N_t$ ve $X_M(k)$ ve ikinci eşitlik için toplamı ve beklentiyi ve nesnenin iid özelliği ile değiş tokuş etmek için hakim yakınsamayı uygulamak $X_M(k)$üçüncü için. Şimdilik sadece üs ile ilgileneceğiz ve kısaca tanımlıyoruz$Z \equiv X_M(1)$:
$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$ DCT'yi tekrar uyguladığımız ve dağıtımın simetrisine göre $Z$ beklentisinin 0 olması.
$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$
nerede $c = \frac{i u}{\sigma_M}$. Her biri için$t \ge 1$ ve yukarıdaki toplamın sınırlı modülü vardır ( $\exp(|c|M)$ örneğin), böylece karakteristik fonksiyonun yakınsamasını a $N(0,1)$ ve (a) bölümünü bitirebiliriz.
(B) bölümü için, aynı şeyi yapmaya çalışıyorum, bu da açıkça $\sigma_M$çünkü onu (a) bölümünde kullanmadık. Önemsiz bir şekilde gösterilmiştir (kısalık için$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$) $$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$
(L) satırından sonraki yakınsamanın ancak ve ancak$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$ Toplamın modülünü, hakkındaki tüm bilgileri içerecek şekilde yeniden yazmayı denedim. $\sigma_{M(t)}$yani eşit olarak $$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$Yine de buradan bu sonuca nasıl varacağım konusunda hiçbir fikrim yok. Lütfen yapabiliyorsan yardım et - bunun için aptalca bir zaman harcadım.
Yanıtlar
Bir sabit olduğunu belirterek $C > 0$ hangisi için
$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$
herkes için geçerli $x \in \mathbb{R}$, sahibiz
\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}
Şimdi bunu not ederek
$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$
farkı daha da sınırlayabiliriz
$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$
mutlak bir sabit için $C_2 > 0$. Bu sınır yakınsadığından$0$ gibi $t \to \infty$ varsayımla $M$, istenen sonuç aşağıdadır.
Ek.
İnanıyorum ki $\pi$ paydasında $\text{(5)}$bir yazım hatasıdır. Doğru formül$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$
Geçerlilik $\text{(*)}$ kısıtlamaya eleştirel olarak bağlı $x \in \mathbb{R}$ve bu nedenle, doğrudan güç serisi açılımından elde edilemez. Bununla birlikte, bu Taylor yaklaşımında kalan terim için açık bir formül kullanılarak kanıtlanabilir. Örneğin, kullanabiliriz$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$ böylece kanıtlıyor $\text{(*)}$ ile $C = \frac{1}{6}$.