$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ ima eder $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Question

İzin Vermek $f$ Lebesgue ölçülebilir bir fonksiyon olmak $[0,1]$ ile $f(x)>0$neredeyse her yerde
Varsayalım ki$\{E_k\}_k$ Lebesgue ölçülebilir kümelerinden oluşan bir dizidir. $[0,1]$ öyle ki $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ Olduğunu göstermektedir $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Gözlemciklerim:
Bırak$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
Sonra $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$artan ölçülebilir alt kümelerin sayılabilir bir koleksiyonudur. Ve$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$

Aynı zamanda $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ artan bir dizi dizisi, elimizde $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$

Üstelik ayrıca elimizde

$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$

Ancak son cevaba ulaşmak için bu ayrıntıları nasıl kullanacağımı bilemiyorum.
Yardımınıza minnettar olurum

Answer 1

İzin Vermek $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$. Sonra her biri$B_n$ ölçülebilir bir settir ve $B=\cup B_n$varsayıma göre 1 ölçüsü vardır. Şimdi ölçüsü$E_k\cap B_n$ gider $0$ gibi $k\to \infty$ her biri için $n$. Yani$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$