Matematikte Paradigma Kaymaları [kapalı]
Fizikte, alanı temelden değiştiren birkaç açık devrim veya paradigma kayması vardı. Bir örnek, kopernik devrimi ve ptolemaik görüşten güneş merkezli görüşe kapsamlı geçiş.
Matematiğin aksiyomlardan işlediği düşünüldüğünde, yanlış varsayımların alanın kurallarına sızmasının pek olası olmadığını düşündüm. Ek olarak, matematik eğitimim sırasında (bir fizikçi olarak) matematiğin Yunanlılardan günümüze oldukça sürekli geliştiğini ve her zaman eskisinin üzerine yeni bilgiler eklediği hissine kapıldım.
Bu nedenle sorum şu, bunun yanlış olup olmadığı ve matematik tarihinde önceki sonuçların bazı paradigma değişiklikleri veya radikal yeniden yorumlamaları olup olmadığı, yoksa sürekli bir bilgi büyümesi miydi?
Ek
Olmuştur bu matematik felsefi vardiya istiyor zaten soru. Bununla birlikte, matematiksel bilginin belirli noktalarda doğrusal olarak mı büyüdüğünü yoksa süreksiz mi olduğunu anlamaya çalıştığım için bunun bundan farklı olduğunu düşündüm.
Yanıtlar
Sanırım ölülerini (tabiri caizse) gömen "devrimleri" "paradigma kaymalarından" (oyunun devam ettiği ve eski tarzda yapılan işin silinmediği, ancak artık takip edilmesi ilginç veya önemli görünmediği) ayırt edebiliriz.
Sanırım bir zamanlar analizin sonsuz küçükler olmadan yeniden işlenmesinin, yalanı / tutarsızlığı ortadan kaldıran bir devrim olduğu düşünülüyordu (bu yüzden sonsuz küçükleri rehabilite eden standart dışı analiz çeşitleri - bir nevi! - ilginç bir sürpriz olarak geldi yüz. ve yıllar sonra bir şey). Küme teorisinin gelişimi, daha önce yalnızca yanlışlık / tutarsızlık olabileceği düşünülen tutarlı bir teoriye ("tamamlanmış sonsuzluklar") sahip olmanın mümkün olduğunu gösteren bir devrimdi.
Ancak bu tür durumlar kesinlikle istisnadır (her halükarda matematikte). Bir paradigma değişikliğinin, daha önce olanların yanlış olduğunu varsaymayı içermesi gerekmez . Bunun yerine, yeni kavramlar ortaya atılır, yeni sorunlar ortaya çıkarılabilir, yeni yaklaşımlar özellikle ilginç / ödüllendirici olarak görülür hale gelir; yeni örnekler, taklit edilecek paradigmalar ve problem çözümlerinin değerlendirildiği standartları belirleyenler olarak görülmeye başlandı. Örneğin, geçen yüzyılda soyut cebirin gelişimi, bu tür bir paradigma değişiminin bir paradigma örneği gibi görünecektir ...!
Matematik aksiyomatik bir disiplin değildir. Yeni bir alanın açılmasının bir yolu, genel olarak ortak bir şeye sahip olan ve yeni bir teoriye işaret ediyor gibi görünen örnekleri ortaya çıkarmaktır.
Örneğin homolojiyi ele alalım. Bu, Eilenberg ve Steenrod tarafından aksiyomatikleştirildi. Ancak insanlar Betti sayılarını keşfetmemiş, Poincare homolojiyi keşfetmemiş ve Noether, Betti sayılarının gruplar olarak daha iyi düşünüldüğüne işaret etmemişti, aksiyomatize edilecek bir şey olmayacaktı.
Hilbert, tümdengelimli düşünmeyi sınıflandırdığı Geometry & the Imagination adlı eserinde aşağı yukarı aynı şeyi söylüyor ; bu, bilimsel düşüncenin gerçek biçimi olarak sınıflandırdığı tümevarımsal düşünceden daha düşük bir düzenin aksiyomatik biçiminden gelen düşüncedir.
Kişisel olarak, benim için önemli bir paradigma kayması, kategori-teorik düşüncenin matematiğe girişi oldu ve aynı zamanda düşüncenin sürekliliğini de gösteriyor. Örneğin, üçgen erken keşfedildi, kenarlara yönler ekleyerek vektör toplama yasasına sahibiz ve sonra kenarların eğimli olmasına izin vererek onları kategori-teorik oklar olarak düşünebiliriz. Bu aynı zamanda aydınlatıcıdır: Onları Öklid dışı vektörler olarak düşünebiliriz ve herhangi iki nokta arasında benzersiz bir jeodezik bulunan bir uzunluk uzayında yönlendirilmiş jeodezikleri böyle bir vektöre kaldırabiliriz.