$\mathbb N$ bir alan
Bir bijeksiyon bulduk $\phi$ arasında $\mathbb N$ ve $\mathbb Q$. Dolayısıyla, toplama ve çarpma işlemlerini buna göre tanımlama$\mathbb N$ (öyle ki $\phi$ bir homomorfizm olur) dönüşür $\mathbb N$ bir alana.
Akıl yürütmemde bir hata var mı?
Yanıtlar
Bir alan sadece bir küme değildir , bazı ek yapılarla (iki alan işlemi) birlikte bir kümedir . Yani tam olarak doğru değil$\mathbb{Q}$ bir alandır - daha ziyade, $(\mathbb{Q};+,\times)$ bir alandır.
Bijections bize "taşıma yapısı:" sağlar. $\oplus,\otimes$ bazı setlerde ikili işlemlerdir $A$ öyle ki $(A;\oplus,\otimes)$ bir alan ve $f:A\rightarrow B$bir bijeksiyon, verebiliriz$B$bir alanın yapısı doğal bir şekilde: operasyonları düşünün$\hat{\oplus}$ ve $\hat{\otimes}$ veren $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ için $x,y\in B$. Ama set $B$kendisi bir alan değildir; daha ziyade yapı $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ bir alandır.
Özellikle, olağan olanı kaldırdığımızda $+$ ve $\times$ favori bijeksiyonun boyunca $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$operasyonlar alıyoruz $\hat{+}$ ve $\hat{\times}$ öyle ki $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$bir alan, ancak bu işlemler çok tuhaf görünecek - özellikle, alıştığımız doğal sayıların olağan toplama ve çarpımından tamamen farklı olacaklar. Yani bu sonuç ile gerçeği arasında hiçbir$(\mathbb{N};+,\times)$açıkça bir alan değil .
Hata yok. Aslında, herhangi bir sonsuz küme bir alana dönüştürülebilir. Tanımladığınız işlemlerin$\mathbb N$ bu yol, doğal sayıların olağan toplama ve çarpımından mutlaka farklı olacaktır (çünkü olağan işlemlerde doğal sayılar bir alan değildir).
Olağan diyagonal eşlemeyi kullanarak, ancak pozitif ve negatif değerler arasında gidip gelerek ve "en düşük terimlerde olmayan kesirlerin" yinelenen temsillerini atlayarak, ilk birkaç terimin eşleştirmesini elde edebiliriz:
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
Şimdi bu olduğunu bir alan. Katkı kimliği$1$ ve $1 + k = k+1 = k$ hepsi için $k \in \mathbb N$.
Her değer, $k$ toplamanın tersi vardır, $-k$ Böylece $k+(-k)= 1$. Örneğin toplamanın tersi$4$ dır-dir $-4 =5$ ve $4+5 = 1$. Aynı şekilde$-11 = 10$ ve $11 + 10 = 1$.
Çarpımsal kimlik $2$ ve $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ hepsi için $k \in \mathbb N$.
Ve her değer için $k$ dışında $1$çarpımsal tersi olacaktır $\frac 1k$ nerede $k\cdot \frac 1k = 2$. Örneğin$\frac 14 = 6$ ve $4\cdot 6 = 2$.
Ve benzeri.
Bunların hepsi mantıklı, çünkü tek yaptığım "olağan" rasyonel sayıları bunlara uygun olanlarla değiştirmekti. Eğer not alırsam$k \color{blue}{\mapsto m}$ "gerçekten" ne demek istediğimi temsil etmek ve yukarıda yazdıklarımı kesip yapıştırmak şöyle olurdu:
...........
Şimdi bu olduğunu bir alan. Katkı kimliği$1\color{blue}{\mapsto 0}$ ve $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ hepsi için $k \in \mathbb N$.
Her değer, $k$ toplamanın tersi vardır, $-k$ Böylece $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Örneğin toplamanın tersi$4\color{blue}{\mapsto 2}$ dır-dir $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ ve $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Aynı şekilde$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ ve $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
Çarpımsal kimlik $2\color{blue}{\mapsto 1}$ ve $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ hepsi için $k \in \mathbb N$.
Ve her değer için $k$ dışında $1\color{blue}{\mapsto 0}$çarpımsal tersi olacaktır $\frac 1k$ nerede $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Örneğin$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ ve $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
Ve benzeri.