Matrisin geometrik yorumu $A-B$

Aug 17 2020

İki matrisin çıkarılmasının geometrik bir yorumu var mı, özel bir durumla $I -A$ (bir matrisin kimlik matrisinden çıkarılması)?

Referans: If $A$ idempotent bir matristir, aralığı $A$ ve aralığı $I-A$ayrık kümelerdir. Geometrik olarak anlamaya çalışıyorum.

Matris çıkarmanın genel durumunu geometrik olarak açıklayabilen biri varsa, bu iyi bir yardımcı olacaktır.

Yanıtlar

1 JeanMarie Aug 17 2020 at 13:50

İçin genel bir cevap olduğunu sanmıyorum $A-B$ama durumunda $I-A$, daha doğrusu $Q=I-P$ nerede $P$ belirli bir alt uzay üzerinde ortogonal bir izdüşüm matrisidir (yani, dediğiniz gibi bir idempotent matrisidir) $S$, sonra $Q=I-P$ ortogonal tamamlayıcı üzerindeki ortogonal izdüşümdür $S^{\perp}$ nın-nin $S$.

Örneğin, 3B'de, çizgiyi düşünün $S$ denklemlerle $x=y=z$, normlu birim vektör ile $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Ortogonal projeksiyon matrisi üzerine$S$ birinci derece matristir (birinci sıra, çünkü aralık alanı tek boyutludur):

$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

ve

$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$

düzleme dik izdüşümdür $S^{\perp}$ ortogonal $S$ denklem ile $x+y+z=0$, (rank-2 matrisiyle, çünkü aralık uzayı artık 2 boyutludur).