Meraklı bir özelliğe sahip bir işlev örneği

Question

Gösteren $L^1(0,1)$ aralıktaki Lebesgue integrallenebilir fonksiyonların uzayı $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ Bir işlevi var mı $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ öyle ki:

1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

Sanırım cevabın olumlu olduğunu ve asıl amacın oluşturmak $F$ öyle ki $F$ ve $F'$uygun şekilde sıfıra yakın davranır. Oldukça hassas görünüyor. Kontrol ettim$F$ bir polinom veya güç fonksiyonu olamaz (o zamandan beri $F'\simeq \frac{F}x$bu nedenle koşullar 2 ve 3 aynı anda geçerli olamaz).

Herhangi bir ipucu için minnettar olurum!

Answer 1

Böyle bir işlev yok. Her şeyden önce,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ ne zaman $a,b\to 0$. Yani$F$ limiti var $c$ 0. noktasında $c\ne 0$, sonra 1) başarısız olur. Yani$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

Sonraki, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Şimdi $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ İki durumu düşünün:

1. $F$ 0 yakınında sabit bir işarete sahiptir. $a,b$ 0'a yakın olarak (1) ve (2) 'den şu sonuca varıyoruz: $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ 0'da yakınsar, ancak bu yakınsama ile eşdeğerdir $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ ihtiyacımız olan

2. $F$ 0'ın herhangi bir mahallesinde sonsuz sayıda sıfır vardır. $(a_k,b_k)$ dahil olma-açık kümenin maksimum aralıkları $\{x:F(x)\ne 0\}$ ve (2) $a=a_k,b=b_k$ bağladık $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ üzerinden $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Buraya$c=b_1$, Örneğin.