Nasıl değerlendiriyorsun $\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$
Çözmeye çalışıyordu olduğunda bu ayrılmaz açıldı bu . Genel bir çözüm bulmanın mümkün olup olmadığını bilmiyorum
$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$
nerede $n\in\mathbb{N}$. WolframAlpha için integrali çözebilir$n=1,2,3$, ancak daha sonra hesaplama süresi biter. Biri ikame edilebilir$u = \arcsin(x)$ ve $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$
WolframAlpha, aşağıdaki durumları çözmek için bazı trigonometrik kimlikler kullanır: $n=1,2,3$ama hepsini çözmenin bir yolu var mı $n\in\mathbb{N}$?
Yanıtlar
Nasıl değerlendireceğiniz konusunda size yardımcı olmayabileceğini biliyorum , ancak Mathematica çözümü veriyor$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$ bu da en azından bazı kesirli $n$. $\;_3F_2$genelleştirilmiş bir hipergeometrik fonksiyonun gösterimini kullanır . En doğru terim, Mellin dönüşümü ile ilgilidir .$\arcsin^2(x)$.
Mathematica'nın çözümüne muhtemelen temsili kullanılarak ulaşılır. $\arcsin(x)$bir şekilde Meijer-G fonksiyonu ve bir çözme Meijer-G işlevleri bir çift entegrali için genel formu . Son olarak, sonucu tekrar hipergeometrik bir işleve dönüştürmek. Bu, genel olarak integralleri sembolik olarak çözmek için kullanılan ortak bir algoritmadır, ancak integraliniz de Heaviside adım fonksiyonu ile birleştirildiği için kesin olarak söylemek zor.
İntegralinizi şu şekilde yazmanız daha olasıdır: $\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$yani ürününün Mellin dönüşümü $\Theta(1-x)$ ve $\arcsin^2(x)$Meijer-G temsillerine sahip olan $$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$ ve $$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$ ve denklemi kullan $$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ veya benzeri, bu nedenle bilgisayar, özellikle sonucu hipergeometrik kimlikler açısından ayırmak için çok yararlı bir araçtır.
Özel işlevlerden kaçınan alternatif bir çözüm.
Bazen bilinmeyen parametrelere bağlı olarak çözüm hakkında bir ansatz yapılırsa belirsiz bir integral elde edilebilir, daha sonra farklılaştırılarak parametrelerin doğru değeri elde edilebilir.
Bunu varsayalım $n=2m$ çözüm biçime sahip $$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$ nerede $P_m,Q_m$ derece polinomları $m.$ Sonra farklılaştırarak kimliğimiz var $$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$ Hariç tüm terimler yok olmalıdır $x^{2m}\arcsin^2(x)$yani, içeren terimleri ayırarak $\arcsin(x)$ diğerlerinden ve pozisyonuyla $t=x^2,$ iki birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemimiz var: $$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$bunlardan karekök içeren genel çözümlere ihtiyaç duymadığımız ve istemediğimiz, yalnızca benzersiz belirli polinom çözümleri. Bu çözümleri bulduktan sonra, belirli integralin değerinin şu şekilde olduğunu görmek kolaydır:$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$
Benzer şekilde, garip $n=2m+1$sanıyoruz $$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$ ve doğrudan elde edilen diferansiyel denkleme gidersek $$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ (bunlardan ilkinden ayrıca $k=Q_m(0)$).
Yine, polinom çözümünü arıyoruz ve bulduktan sonra,$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$