Nonabelyan düzen gruplarının matris gösterimi $p^3$?

Question

Düzen gruplarına baktığınızda $p^3$ (garip için $p$) var $2$nonabelian olanlar. Bunlardan biri, Heisenberg grubudur ve yarı doğrudan bir çarpımı olarak görülebilir.$C_p \times C_p$ ve $C_p$.

GAP ile yapılan bazı hesaplamalara dayanarak, diğerinin yarı doğrudan bir ürünü olduğunu görüyorum. $C_{p^2}$ ile $C_p$.

Bu diğer grup, tanıdık bir matris grubu olarak görülebilir mi?

---

gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Answer 1

Tek kelimeyle 'hayır'. Dikkat edin$\mathrm{GL}_n(q)$ için $q$ bir güç $p$ herhangi bir düzen unsuruna sahip olamaz $p^2$ sürece $n>p$. Böylece$p$ matris grubu büyüdükçe büyümek zorundadır.

Karakteristik alanlar üzerinde benzer bir hikaye değil $p$. Hiç$1$grubun boyutsal temsilleri çekirdekte merkeze sahiptir. Tek sadık temsillerin en azından derecesi var$p$.

Yani bu grubun aslına uygun bir derece temsili yoktur. $p$ herhangi bir alan üzerinde.

Düzenleme: Herhangi bir alan üzerinde matris gösterimi yoktur, ancak bir halka üzerinde vardır . Bu grubu veren$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

Bunu Keith Conrad'ın notlarına bakarak buldum .