Öklid uzayında açık kümelerdeki Sobolev uzaylarının tanımı (ΨDO teorisinde) hakkında kafa karışıklığı
ME Taylor'ın Pseudodifferential Operators adlı kitabını okuyorum , yazarın$H^s(\Omega)$ için $s\in\mathbb{R}$ ve $\Omega\subset\mathbb{R}^n$açık bir küme (örneğin, Gårding eşitsizliği ifadesinde) onu hiç tanımlamadan. Aslında, yalnızca bu tür Sobolev uzaylarını$\mathbb{R}^n$ve kompakt manifoldlar. Her iki durumda da, birinin bir$s$-sıra sözde farklılaşma operatörü $\Lambda^s$ (ana sembol ile $\langle\xi\rangle^s$) bir izomorfizma neden olan $H^s\to L^2$. Bu tanım olarak alınabilir$H^s$. Ancak, Öklid uzayında genel açık kümeler için aynısını nasıl yapacağımı bilmiyorum. Bazı düşünceler:
- Sayfa 51'de yazar, bunun değiştirilerek yapıldığını belirtmektedir. $\Lambda$böylece düzgün bir şekilde desteklenir. Ancak bununla ne demek istediğinden emin değilim.
- Belki biri standart Laplacian üzerinde fonksiyonel analiz kullanılabilir. $\Delta$. Bu yaklaşımla ilgili birkaç sorun var: (a) İhtiyacım olacak$\Delta^{s/2}$ dağıtım uzayında tanımlanacak (böylece tanım şöyle olacaktır: bir dağıtım $u$ ait olmak $H^s$ Eğer $\Delta^{s/2}u\in L^2$), ancak fonksiyonel hesap bunu yalnızca bir alt uzayda tanımlar. $L^2$. (b)$\Delta^{s/2}$ gerçekten doğru sembole sahip bir sözde türevli operatör?
Peki bu bağlamda doğru tanım nedir? Herhangi bir yardım takdir edilecektir!
Yanıtlar
- Sobolev uzaylarının tipik tanımları
Genel bir açık alt küme için $\Omega$ (sınırında düzenlilik varsayımları olmadan), Sobolev-uzayları $H^s(\Omega)$ ilk olarak için tanımlanmıştır $s\in \mathbb{N}$ (açık bir şekilde: siparişe kadar türevler $s$ içinde olacak $L^2$) ve genel olarak $s\in \mathbb{R}$ enterpolasyon / dualite yoluyla.
Ancak, eğer $\partial \Omega$ yeterince düzenlidir, daha kolay bir yol vardır: Basitlik için varsayalım ki $\partial \Omega \in C^\infty$sonra tipik olarak tanımlar $H^s(\Omega)$ dağıtım alanı olarak $\Omega$ bir uzantı kabul eden $\mathbb{R}^d$ içinde yatıyor $H^s(\Omega)$. Eşdeğer olarak$H^s(\Omega)=rH^s(\mathbb{R}^d)\subset\mathcal{D}'(\Omega)$, nerede $r:\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)\rightarrow \mathcal{D}'(\Omega)$kısıtlama operatörüdür. Bu, ilk paragraftaki ile aynı boşlukları verir.
Bunlara bir referans olarak, Taylor'un Sobolev uzaylarının çeşitli tanımları üzerine tam bir bölümü olan PDE kitabını önerebilirim. (Ayrıca$\mathbb{R}^d$ kapalı bir manifold ile değiştirilir).
- Eliptik ölçekler
Şimdi, düzgün şekilde desteklenen yorumla ilgili olarak $\psi$yapılacaklar $\Lambda^s$ Shubin'deki Lemma 7.1'i düşünebilirsiniz $\psi$kitap yapmak. Aslında bu, keyfi bir manifoldda$X$ (özellikle alabilirsin $X=\Omega$) uygun şekilde desteklenen operatörler ölçeği vardır $\Lambda^s\in \Psi^s_{\mathrm{cl}}(X)$(klasikliği ifade eden alt simge) pozitif ana sembollerle. Shubin daha sonra yerel Sobolev uzaylarını şu şekilde tanımlar :$H^s_\mathrm{loc}(X)=\{u\in \mathcal{D}'(X): \Lambda^su\in L^2_{\mathrm{loc}}(X)\}$ ve bunun diğer bazı tanımlarla eşdeğer olduğunu kanıtlıyor.
Mesele şu ki, genel (kompakt olmayan) bir manifold için bu, aldığı kadar iyidir: $H^s(X)$sonsuzdaki fonksiyonlarının davranışını belirtmeden. Eğer$X$ açık bir alt kümesidir $\mathbb{R}^d$ veya kapalı bir manifoldda, sonsuzdaki (veya daha doğrusu sınırdaki) davranış, fonksiyonların genişlemesini gerektirerek belirlenir. $\partial X$ ve biz ilk birkaç paragrafın ayarındayız.
Farzedelim $X$ Riemann metriğine sahiptir $g$? Sanırım bu durumda biri tanımlanabilir$H^s(X,g)$ için $s\in \mathbb{N}$ işlevlerinin tatmin etmesini isteyerek $X_1\dots X_k f \in L^2(M,g)$ herhangi bir vektör alanı için $X_1,\dots,X_k$ $(0\le k \le s)$ hangi tatmin $\vert X_i \vert_g\in L^\infty(X)$. Tam sayı olmayanlar için$s$ sonra enterpolasyon \ dualite yoluyla.
Eğer $(X,g)$ tamamlanmış olur (gibi $\mathbb{R}^d$), sonra Gaffney, Laplacian'ın $1+\Delta_g$ kendine özgü bir farkındalığa sahiptir $L^2(X,g)$ ve sanırım birinin etki alanı $\tilde H^2(X,g)$. Aynı şey onun güçleri için de geçerlidir ve bu nedenle tanımlayabiliriz$\tilde H^s(X,g)$ için $s\in 2\mathbb{N}$ ve genel olarak genişletmek $s$enterpolasyon / dualite ile. Şaşırmazdım (ama kontrol etmedim), eğer gerçekten$H^s(X,g)=\tilde H^s(X,g)$ bu durumda.
- Karmaşık güçler
Sobolev alanlarını tanımlayıp tanımlayamayacağınızı merak ettiniz. $\Omega$Laplacian'ın güçleri aracılığıyla. Güçlerini almak daha mantıklı.$P=1+\Delta$ (ile benzer şekilde $\mathbb{R}^d$) ve gerçekten de size bunun mümkün olduğunu söyleyen güzel bir teori var, en azından kapalı bir manifold üzerindeyseniz. Öyleyse varsayalım ki$\Omega$ kapalı bir Riemann manifoldunun içinde yaşıyor $(M,g)$ (ve $\partial \Omega \in C^\infty)$, sonra $P^z$ herkes için tanımlanmıştır $z\in \mathbb{C}$ ve bir klasik $\psi$düzen $\mathrm{Re}(z)$bariz cebirsel özelliklere sahip. (Bunun nedeni Seeley, ancak bununla ilgili Shubin'in kitabında güzel bir açıklama bulabilirsiniz).
Şimdi tanımlamak isteyebilirsin $H^s(\Omega)=\{f:P^s f\in L^2(\Omega,g)\}$ ve en azından $s\in \mathbb{N}$ bu başlangıçta tanımlananla aynı şeyi verir, yani $H^s(\Omega) = r H^s(M)$. İki alanın anlaşması için yeterli bir kriter şudur:$P^s$tatmin sözde şanzıman durumu en$\partial \Omega$: Bu, Hörmander'deki Tanım 18.2.13'tür ve şunu söyler: $rP^se_0(C^\infty(\bar \Omega)) \subset C^\infty(\bar \Omega)$, nerede $e_0$uzantıyı sıfır ile gösterir. Şimdi pozitif tamsayılar için$P^s$diferansiyel bir operatördür ve durumu açıkça karşılar. Tamsayı olmayan güçler için, burada sayfa 184'ün başında belirtildiği gibi bu başarısız olabilir . Şu anda bunun hakkında söyleyebileceğim tek şey bu.