Olası maksimum değer nedir $E[X_1 X_2 X_3]$?

Question

Varsaymak $X_1,X_2,X_3$ ortak bir olasılık uzayında tanımlanan ayrık rasgele değişkenlerdir $\Omega$ ve değer almak $\{-1,1\}$. Ayrıca, varsayalım ki$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$. Bu göz önüne alındığında, mümkün olan maksimum değer nedir$E[X_1 X_2 X_3]$?

Bunu görmek kolay $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ her biri için $i,j \in I_3 (i \neq j)$. Ama nasıl daha fazla ilerleyebilirim? Herhangi bir yardım memnuniyetle karşılanacaktır.

Answer 1

İzin Vermek $a=E[X_1 X_2 X_3]$

Elbette sahibiz $-1 \le a \le 1$

Bu parametrelendirmeyi takiben ortak olasılığı şöyle yazabiliriz:

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ ek kısıtlamalar veren $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ veya $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ ve $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

Ancak bu, maksimum için orijinal aday tarafından doğrulanır ($a=1$)

Dolayısıyla maksimum $E[X_1 X_2 X_3]=1$ tarafından elde edilen

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

Answer 2

Her biri olasılığa sahip dört durum olsun $1 \over 4$: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$.

Koşulların geçerli olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Ancak,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

bu açıkça bu ifadenin alabileceği en yüksek değerdir.