Önemsiz sonlu çözülebilir bir grup, her asal bölen için bir asal güç indeksi alt grubuna sahip midir?

Question

İyi bilinmektedir ki, her maksimal alt grup $G$ asal güç endeksine sahipse $G$ önemsiz olmayan sonlu çözülebilir bir gruptur.

Sorum şu: Her asal için bunu kanıtlayabilir miyiz?$r\in\pi(G)$ maksimal bir alt grup var $G$ endeksinin gücü $r$?

Kanıtlamaya çalıştım ama ispatımda bir hata yaptığımı fark ettim. İşte girişimim:

Tanımlamak $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ Biz iddia ediyoruz $\pi^*$boş bir kümedir. Varsayalım ki$\pi^*$boş değil. O halde, maksimal alt grupların indisleri,$\pi(G)\setminus\pi^*$. Sylow alın$q$alt grup $S_q$ her biri için $q\in\pi(G)$. İçin$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, keyfi bir maksimal alt grup alın $M$ nın-nin $G$ öyle ki $|G:M|$ bir gücü $p$. Sahibiz$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ İma eder ki $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ herhangi bir maksimal alt grubunda yer almaz $G$. Fakat$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ uygun şekilde içeriliyor $G$bu bir çelişkidir.

Benim hatam :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ mutlaka bir alt grubu olması gerekmez $G$, bu yüzden aslında herhangi bir çelişki alamıyorum.

Bana biraz fikir verebilir misin? Sanırım bunu farklı bir şekilde kanıtlamalıyım. Herhangi bir yardım takdir edilmektedir. Teşekkürler!

Answer 1

Bu, çözünür gruplar üzerine Hall'un teoremidir. Belirtir:

Sonlu bir grup, ancak ve ancak, her biri için $p\mid |G|$var bir $p'$alt grup $H$ indeksi kimin gücüdür $p$.

Bir alt grup $H$ öyle ki $|H|$ ve $|G:H|$coprime bir Hall alt grubu olarak adlandırılır ve eğer$\pi$ öyle bir dizi asal $p\in \pi$ böler $|G|$ ancak ve ancak bölünürse $|H|$, sonra $H$ bir Salon $\pi$-altgrup.

Bunu ipucu olmadan kanıtlamak biraz zor. Ya en sevdiğiniz ders kitabına bakabilir ya da tek yön için aşağıdaki ana hatları takip edebilirsiniz. İzin Vermek$\pi$ bir dizi asal olmak ve bir Salonun varlığını kanıtlamayı hedefliyoruz $\pi$alt grup $G$.

1. İzin Vermek $K$ minimal normal bir alt grup olmak $G$. Eğer$K$ bir $\pi'$-altgrup sonra her şey yapılır.
2. Eğer $K$ bir $p$-için alt grup $p\in \pi$, daha sonra Schur-Zassenhaus teoremini bir Hall'un ön görüntüsünde kullanabilirsiniz $\pi$alt grup $G/K$.

Tam bir kanıtı burada bulabilirsiniz , s. 28.

Answer 2

Evet, her asal kümesi için, sonlu çözülebilir grup, sıralaması yalnızca bu asal sayılarla bölünebilen ve indeksi bunlardan herhangi birine bölünemeyen bir Hall alt grubu içerir. Şimdi grubun sırasını bir hariç bölen tüm asalların kümesini alın. İhtiyacınız olan şey karşılık gelen bir Hall alt grubudur.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup