Önyargı işlevi var mı $f:[0,1] \to [0,1]$ öyle ki grafiği $f$ içinde $\mathbb{R}^2$ yoğun bir alt kümesidir $[0,1] \times [0,1]$?
Var mı bir bijective fonksiyonu$f:[0,1] \to [0,1]$bu şekilde grafik arasında$f$ içinde $\mathbb{R}^2$Bir olan yoğun alt kümesi$[0,1] \times [0,1]$? (Başlıkla tamamen aynı).
Aynı soruyu sorarsak sorunun pek etkilenmediğini, ancak bir işlevi olduğunu düşünüyorum. $f:(0,1) \to [0,1]$ veya $f:[0,1) \to (0,1]$ vb. aksine $f:[0,1] \to [0,1]$, asıl soruda olan. Gerçekten önemli olan tek şey, etki alanının ve aralığın sınırlı, bağlı alt kümeler olmasıdır.$\mathbb{R}^2$.
Sorunun cevabının evet olduğundan şüpheleniyorum, ancak böyle bir işlevi nasıl inşa edeceğimi bilmiyorum.
Dikkat edilmesi gereken ilk şey, eğer böyle bir fonksiyon varsa, hiçbir yerde sürekli olmaması gerektiğidir, aksi takdirde f'nin grafiğinin tümü boyunca yoğun olmayacağıdır. $[0,1] \times [0,1]$. Ancak, fonksiyonumuzun grafiğinin tamamen bağlantısız bir alt kümesi olup olmayacağı açık değildir.$[0,1] \times [0,1]$.
Hiçbir yerde sürekli bir fonksiyonun bağlantılı bir grafiği olabilir mi?
Aslında yukarıdaki soruya verilen cevapları detaylı olarak okumadım ve her neyse, soruyu burada cevaplamak uygun olmayabilir (olsa da).
Benim girişimim:
İzin Vermek $f_{ Conway_{(0,1)} }:(0,1) \to \mathbb{R} $olmak Conway taban 13 işlevi , ancak etki alanı ile sınırlı$(0,1)$. Şimdi tanımla$f_{Conway_{(0,1)}bounded}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(f_{ Conway_{(0,1)} }(x)) + \frac{1}{2}$ etki alanı ile $(0,1)$ ve aralık $(0,1)$. Daha sonra fonksiyon iyi tanımlanmıştır ve grafik$f_{Conway_{(0,1)}bounded}:(0,1) \to (0,1)$ yoğun bir alt kümesidir $[0,1] \times [0,1]$. Artık işlevimizi kolayca değiştirebiliriz$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$ etki alanına sahip olması için $[0,1]$ ve aralık $[0,1]$ve okuyucunun bunu yapabileceğini varsayacağım ve ayrıntıları kısaca bırakacağım. Ama mesele şu ki, etki alanındaki bu eksik iki nokta,$0$ ve $1$sorun değil.
Sorun şu ki, işlevimiz enjekte edici değil.
Sadece grafiğinden noktaları kaldırarak soruya cevap veremeyeceğimizi unutmayın. $f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, o zaman etki alanından çok sayıda nokta kaldırırsınız ve bu nedenle bu etki alanıyla bir işlev olmaz $(0,1)$. Yani belki zekice bir şey yapmak$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$veya belki de soruyu yanıtlamak için bir işlev oluşturmanın tamamen farklı bir yolunu bulmak gereklidir.
Yanıtlar
Basitlik için çalışacağım $[0,1]\times [0,1].$ Aşağıdaki "sayılabilir" kelimesi "sayılabilir şekilde sonsuz" anlamına gelecektir.
Lemma: İkili ayrık bir koleksiyon var $\{D_n:n\in \mathbb N\}$ alt kümelerinin $(0,1)$ öyle ki her biri $D_n$ sayılabilir ve yoğun $(0,1).$
Kanıt: Let $p_1,p_2,\dots$asal sayılar olun. Her biri için$n,$ tanımlamak $D_n$ oranlar kümesi olmak $j/p_n^k,$ nerede $k\in \mathbb N,$ $1\le j < p_n^k,$ ve $j,p_n$nispeten asaldır. Burada duracağım ama istersen sorular sor.
Şimdi çift indeksli açık aralıklar koleksiyonu tanımlayın $$I_{mk}=(\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}),$$ nerede $m\in \mathbb N, 1\le k\le m.$ Bu aralıkları şu şekilde doğrusal olarak sıralayabiliriz: $I_{11}, I_{21},I_{22},I_{31}, I_{32},I_{33},\dots$ Bu sırayla aralıkları basitçe şöyle gösterelim: $J_1,J_2,\dots.$
Her biri için $n,$ set $D_n\cap J_n$ sayılabilir yoğun bir alt kümesidir $J_n.$ Koleksiyonun $\{D_n\cap J_n)\}$ ikili ayrıktır.
Şimdi için $n=1,\dots,$ tanımlamak $f:[0,1]\to [0,1]$ tanımlayarak $f:J_n\cap D_n \to D_n$beğendiğiniz herhangi bir bijeksiyon olmak. Tam bijeksiyonu elde etmek için şunu unutmayın:$[0,1]\setminus (\cup J_n\cap D_n)$ dır-dir $[0,1]$eksi sayılabilir bir küme. Öyle$[0,1]\setminus (\cup D_n).$ Bu kümeler bu nedenle aşağıdaki değerlere sahiptir: $[0,1],$dolayısıyla aralarında bir eşleşme vardır. İzin Vermek$f$bu setler arasındaki bu eşleşme olabilir. Şimdi$f$ tam bir bijeksiyon $[0,1]$ -e $[0,1].$
Yoğunluğu göstermek için $(a,b)\times (c,d)\subset (0,1)\times (0,1).$ Sonra biraz büyük $n$ (şimdi düzeltildi), $J_n\cap D_n\subset (a,b).$ Dan beri $f(J_n\cap D_n)=D_n,$ yoğun bir alt kümesi $(0,1),$ var $x\in J_n\cap D_n$ öyle ki $f(x)\in (c,d).$ Böylece $(x,f(x))\in (a,b)\times (c,d).$ Bu, grafiğini gösterir $f$ yoğun $[0,1]\times [0,1].$
Evet, yapabileceğiniz şey bir enjeksiyon işlevi oluşturmaktır $f:\mathbb Q \cap [0,1] \rightarrow \mathbb [0,1]$ kimin grafiği yoğun $[0,1] \times [0,1]$ ve sonra etki alanını genişletin $f$ -e $\mathbb [0,1]$ bir şekilde $f$ bir bijeksiyon (bu mümkün olduğu için $|\mathbb R | $ puan $[0,1]$ zaten görüntüsünde değil $f$).
Örneğin, Açık $\mathbb Q \cap [0,1]$ izin verebilirsin $$f \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\pi a^2}{b} \mod 1$$
S (x, n) = (2x + 1) / (2 ^ (2n + 1)) olsun.
R (x, n), floor (x / (2 ^ n)) + (2 ^ n) (x mod 2 ^ n) olsun (gayri resmi olarak, x'in ikili açılımının iki yarısını değiştirin).
Eğer bir miktar x varsa f (b) = S (R (x, n), n) olsun, S (x, n) = b, aksi halde b gibi bir miktar x, n (oldukça önemsiz bir şekilde benzersiz olmalıdır).
Herhangi bir "ikili ızgara hücresi", [a * 2 ^ -n, (a + 1) * 2 ^ -n] x [b * 2 ^ -n, (b + 1) * 2 ^ -n] düşünün. (S (a * 2 ^ n + b, n), f (S (a * 2 ^ n + b, n)) = S (b * 2 ^ n + a, n)) bu ızgara hücresindedir.