Ortada küçük bir potansiyel adım atarsak, sonsuz bir karede bulunan sınır durumların enerjilerine ne olur?

Question

Bu potansiyel adımı değiştirirsek ortada küçük bir potansiyel adım ile sonsuz bir kare kuyudaki sınır durumların enerjilerinin nasıl (niteliksel olarak) değiştiğini merak ediyorum. Sorun aslında bu yazıya oldukça benziyor , ancak özellikle potansiyel adımın yüksekliğini veya genişliğini değiştirirsek enerjiler arasındaki boşlukların nasıl değiştiğini bilmek istiyorum.

Zamandan bağımsız problemi çözerek enerjiler için bir formül bulmaya çalıştım, ancak net bir çözüm bulamadım (daha çok aşkın bir denkleme benziyordu ama bazı hatalar yapmış olabilirim).

Answer 1

Bu sistemin enerjilerini analitik olarak çözmek, bellek hizmet ediyorsa, transendental bir denklemi sayısal olarak çözmeyi içerir. Bunda yanlış bir şey yok, ancak çeşitli parametrelerin sonuç üzerindeki etkilerini açıkça görmek biraz zor olabilir.

Farklı bir yaklaşım, bu sorunu pertürbasyon teorisi ile tedavi etmektir. Adım yüksekliğinin küçük olduğunu varsaydığından beri$^\dagger$enerji özdeğerlerinin birinci dereceden düzeltmelerini hesaplamak iyi bir başlangıç ​​olacaktır.

Açıkça, Hamiltonian'ınız $$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \lambda V(x), \qquad V(x)=\cases{1 & $x \ in \ sol [\ frac {L} {2} - \ frac {a} {2}, \ frac {L} {2} + \ frac {a} {2} \ sağ]$\\0 & else}$$

Bu, potansiyel bir genişlik adımına sahip sonsuz bir potansiyel kuyusu için Hamiltonian'dır. $a$ ve yükseklik $\lambda$merkezinde. İlk sıraya$\lambda$, düzeltilmiş enerjiler basitçe $$E_n \simeq E_n^{(0)}+ \lambda \left<\psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_n^{(0)}\right> = E_n^{(0)} + \lambda \int_{L/2-a/2}^{L/2+a/2}\psi_n^{(0)*}\psi_n^{(0)} dx$$ nerede $E_n^{(0)}$ ve $\psi_n^{(0)}$sırasıyla düzeltilmemiş enerjiler ve (normalleştirilmiş) özvektörlerdir. Bunların sonsuz potansiyelin temel çözümünden ne olduğunu zaten iyi biliyoruz, bu yüzden bu integrali değerlendirerek, adımı başlattığınızda bu enerjilerin nasıl değişeceğini görebilirsiniz - en azından adım yüksekliği küçük olduğu sürece.

---

$^\dagger$Bir operatörün küçük olmasının anlamı ince bir konu olabilir. Bu durumda, bunu isterdik$\lambda$herhangi bir ilgi durumunda, bozulmamış Hamiltoniyen'in beklenen değerinden çok daha küçük olmalıdır. Bu durumda, eğer

$$\lambda \ll \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$

Eğer $\lambda$ Bu limiti aşarsa, birinci dereceden düzeltme artık enerjinin nasıl değişeceğine dair iyi bir yaklaşım olmayacaktır.