parantez numarası ile kaplama numarası karşılaştırması

Question

Bu slaytların 9. sayfasındaki lemmanın doğru olup olmadığını iki kez kontrol etmek istiyorum: http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

Lemma: $N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

Kanıt: Eğer $f$ içinde $2\epsilon$braket $[l,u]$, o zaman yarıçapın içinde $\epsilon$ etrafında $(l+u)/2$.

Sanırım kanıtın anlamı şudur: $2\epsilon$- braket kapakları $\cal F$, bu set aynı zamanda yarıçaplı bir top kümesidir. $\epsilon$ bu kapsayabilir $\cal F$. Yarıçaplı başka bilye setleri olabileceğinden$\epsilon$ bu kapsayabilir $\cal F$, kapak numarası, parantez numarasından büyük değildir.

Şimdiye kadar bulabildiğim hiçbir ders kitabında aynı sonucu bulamadım (bu sonucun çok önemsiz olduğu için olup olmadığından emin değilim), bu yüzden doğru mu yanlış mı olduğunu söyleyeceğim konusunda pek emin değilim. Biri beni aydınlatabilirse gerçekten minnettar olurum !!

Answer 1

Ayrıntılandırmanız esasen doğrudur, ancak parantezlerin kendisi $\|\cdot\|$- toplar.

Eğer $[l,u]$ bir $2\epsilon$köşeli parantez, daha sonra $\|\cdot\|$- yarıçap topu $\epsilon$ merkezli $(l+u)/2$, dan beri $l \le f \le u$ ima eder $$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

Böylece bir kapak $2\epsilon$- braketler daha büyük bir kapakla değiştirilebilir $\epsilon$-$\|\cdot\|$-Aynı önemdeki toplar.