Polinomun köklerini bulma $X^2 - X + 19$ içinde $\mathbb Z/61 \mathbb Z$

Question

İçin $p = 61$.

Bana kökleri verildi $X^2 + 3$ içinde $\mathbb Z/p \mathbb Z$, hangileri $\pm 27 + p\mathbb Z$.

O zaman köklerini bulmalıyım $X^2 - X + 19$ içinde $\mathbb Z/p\mathbb Z$, önceki bilgileri kullanmadan bulduğum.

Bununla birlikte, verilen bilgileri köklerini bulmak için kullanmam gerekiyor $X^2 - X + 19$ içinde $\mathbb Z/p\mathbb Z$, ki, nasıl ilerleyeceğime dair hiçbir fikrim yok.

Answer 1

Kareyi tamamlayın.

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75=-3\times 5^2 \bmod61$

$\iff 2X-1\equiv\pm27\times5\bmod61$.

Onu buradan alabilir misin?