Pozitif cins Fuchsian grupları
İzin Vermek $G$ kafeste olmak $SL(2,\mathbb{R})$. Sonlu bir dizin alt grubunun olduğu her zaman doğru mu?$F$ nın-nin $G$ öyle ki bölüm yüzeyi $\mathbb{H}/F$pozitif cins var mı? İfade, yeterince genel bazı varsayımlar altında doğru mu? Lütfen bir referans ekleyebilir misiniz?
Yanıtlar
Evet, bu doğru, ancak bunu kanıtlamak bir referans bulmaktan daha kolay.
Sonlu olarak üretilen her matris grubu (ör. $PSL(2, {\mathbb R})$burulma içermeyen bir alt grup içerir. Genel sonuç Selberg'den kaynaklanmaktadır, ancak farklı alt gruplar içindir.$PSL(2, {\mathbb R})$ kesinlikle daha önce biliniyordu.
1'in görüşüne göre, her yüzeyin $S$ ile 2 boyutlu küreye homeomorfik $n\ge 3$ delikler sonlu bir kaplama sağlar $S'\to S$ öyle ki $S'$pozitif cinsi var. Önce varsayalım ki$n$garip. Surround ponksiyonlar$p_i$ küçük döngülerle $c_i$. Bunları unsurlar olarak düşüneceğim$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Şimdi homomorfizmi düşünün$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ ilk okun Hurewicz olduğu ve ikincisinin gönderdiği yer $[c_1], [c_2]$ -e $1$ ve geri kalanı $[c_i]$için $0$. 2 kat kaplamayı alın$S_1\to S$ çekirdeğine karşılık gelen $\alpha$. Sonra$S_1$ dır-dir $2+ 2(n-2)$-kez delinmiş küre. Böylelikle, sorun, çift sayıda delik bulunan küreler durumuna indirgenmiştir.
İzin Vermek $S$ olmak $S^2$ ile $n=2k\ge 4$delikler. (2) 'ye benzer şekilde, homomorfizmi tanımlayın$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
ikinci okun hepsini gönderdiği yer $[c]_i$sıfır olmayan öğeye ${\mathbb Z}_2$. İzin Vermek$S'\to S$ çekirdeğine karşılık gelen 2 katlı kaplamayı gösterir. $\beta$. Sonra$S'$ sahip olacak $2k$ delikler ve cins $k-1>0$. (Bu, yüzeylerin topolojisinde bir alıştırmadır.$S'\to S$kompakt yüzeylerin bir dallanmış kaplaması için denir hyperelliptic kaplama haritası ).
Düzenle. 1. Bir referans istiyorsanız, en uygun sonuç
Edmonds, Allan L .; Ewing, John H .; Kulkarni, Ravi S. , Fuchsian gruplarının burulmasız alt grupları ve yüzeylerin tessellasyonları , Invent. Matematik. 69, 331-346 (1982). ZBL0498.20033 .
Şöyle ifade edilebilir: Varsayalım ki $F_1, F_2$ kafesler içinde $G=PSL(2, {\mathbb R})$. Sonra$F_2$ gömülür $F_1$ (soyut bir grup olarak) indeksli $k$ancak ve ancak Riemann-Hurwitz koşulu sağlanmışsa :$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Tanımları çözdüğünüzde, pozitif cins sorusuna verilen olumlu yanıtı ima eder.
- Sonuçlarını uygulamak için, kişinin her kafesin bilmesi gerekir (ve bunu hafife alırlar) $G$ sunum var $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Bu sunum Poincare'nin Fuchsian fonksiyonları hakkındaki makalelerinde bulunabilir. Gerçekte bir kanıtı olup olmadığını söylemek zor (bu, Poincare tarafından yazılan ve okumaya çalıştığım hemen hemen her şey için geçerlidir, ancak diğerleri aynı fikirde olmayabilir), ancak sonucu kanıtlamak için bir aracı vardı, yani dışbükey temel alanlar. Dehn'in makalelerinde daha sağlam bir kanıt bulunması muhtemeldir (denemedim). Kafesler için sonlu bir üretme kümesinin varlığı için bildiğim en eski katı referans$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ dır-dir
Siegel, Carl Ludwig , Süreksiz gruplar hakkında bazı açıklamalar , Ann. Matematik. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .
Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, Siegel sonucu kanıtlamak için temel çokgenler kullanır: Sonlu kenarlı bir temel çokgenin varlığını kanıtlar ve sonuç olarak, bölümün alanı açısından üretici sayısı üzerinde açık bir üst sınır sonucuna varır. ${\mathbb H}^2/\Gamma$. Bu sonluluk teoremi, birbirine bağlı Lie gruplarındaki kafesler için çok daha büyük bir genellik içinde geçerlidir, ancak bu başka bir hikaye (aynı zamanda, bu, açıkça temel olan sonuçla kime atıfta bulunulacağı belirsiz olduğu noktaya kadar tarihi karmaşıklaştırmıştır). Emin olmadığım bir şey var:
Bağlı Lie gruplarındaki kafesler için sonlu üreteç kümelerinin varlığı bilinirken, bölümün hacmi açısından üreteçlerin sayısının açık bir üst sınırına katı bir referans bilmiyorum (burulmasız durumda) .
- "Fenchel'in Varsayımı" ile ilgili olarak, her bir kafesin $G=PSL(2, {\mathbb R})$burulma içermeyen bir sonlu indeks alt grubu içerir: Hikaye biraz tuhaf. Varsayımın ilk ne zaman ifade edildiğini söylemek zor / imkansızdır. Nielsen'in makalesinde bahsediliyor
J. Nielsen, Kommutatorgruppen for det frie produkt af cykliske groupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), s. 49-56.
Nielsen'in makalesi, dikkate değer biçimde, hiçbir referans içermiyor.
Bununla birlikte, Nielsen'in makalesi çıktığında, Fenchel'in varsayımı zaten kanıtlanmıştı. Kanıt çoğunlukla şunlarda bulunur:
Mal'tsev, AI , Sonsuz grupların matrislerle sadık gösterimi üzerine , Am. Matematik. Soc., Çev., II. Ser. 45, 1-18 (1965); Mat çeviri. Şb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .
Şimdi, her kafes $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ sonlu olarak oluşturulur ve yalnızca sonlu sayıda içerir $\Gamma$-sonlu mertebeden elemanların eşlenik sınıfları. (Bu, en azından, Siegel'in, Poincare tarafından bilinmesi muhtemel olan temel çokgenler üzerine teoreminden gelir.) Mal'tsev'in teoremi, eğer$\Gamma$ sonlu olarak oluşturulmuş bir matris grubudur, bu durumda önemsiz olmayan her sonlu koleksiyon için $\Gamma$- eşleşme sınıfları $C_1,...,C_k$, sonlu bir dizin alt grubu var $\Gamma'< \Gamma$ ayrık $C_1,...,C_k$. İki sonucu birleştirerek, her kafes$G=PSL(2, {\mathbb R})$ burulmasız sonlu indeks alt grubu içerir.
Fox, Fenchel'in varsayımının tam bir çözümünü,
Fox, Ralph H. , On Fenchel'in (F) -gruplar hakkındaki varsayımı, Mat. Tidsskr. B 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .
Mal'tsev'in gazetesinden açıkça haberi olmayan. Fox'un çözümünün kısmen hatalı olduğu ortaya çıktı ve bir hata (vakalardan birinde):
Chau, TC , Fox'un Fenchel'in varsayımı üzerine yazdığı Proc. Am. Matematik. Soc. 88, 584-586 (1983). ZBL0497.20035 .
O zamana kadar (23 yıl önce), Selberg daha da genel bir sonuç elde etti:
Selberg, Atle , Yüksek boyutlu simetrik uzaylarda süreksiz gruplar üzerine, Contrib. Fonksiyon Teorisi, Int. Colloqu. Bombay, Ocak 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .
Selberg, sonlu olarak üretilen her matris grubunun, sonlu indeksin burulmasız bir alt grubunu içerdiğini kanıtladı. Selberg de Mal'tsev'in makalesinden habersizdi ama en azından zaten orada olan bir şeyi yeniden gözden geçirmiyordu. Mesele şu ki, sonlu olarak oluşturulmuş bir matris grubu$\Gamma$ sonsuz sayıda olabilir $\Gamma$-sonlu alt grupların eşleşme sınıfları, dolayısıyla, Mal'tsev'in sonucu basitçe uygulanamaz.
Moishe Kohan'ın ispatındaki Adım (1) üzerine bir açıklama. Bu problem (sonlu bir indeks bulma, bir kafesin burulmasız alt grubu)$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) "Fenchel'in Varsayımı" olarak adlandırıldı. Ralph H. Fox tarafından çözüldü. Makalesine bakın:
Fenchel'in F-Grupları Hakkındaki Varsayımı Üzerine
ve daha sonra çalışma (diğer ispatlar için ve önceki çalışmaların düzeltmeleri için).