Rasyonel sayılara keyfi olarak yakın bulabileceğimizin kanıtı $\sqrt{2}$: doğrudan yaklaşım. [çiftleme]
Önerinin açıklaması:
Önerme . Her rasyonel sayı için$\epsilon > 0$negatif olmayan bir rasyonel sayı var $x$ öyle ki $x^{2} < 2 < (x+\epsilon)^2$.
Öneriyi kanıtlamak için en yaygın yaklaşım çelişkiyi kullanmaktır ( 1 , 2 ).
Sorum şu: önermeyi doğrudan kanıtlamak mümkün mü? Daha somut olarak, bir işlev bulmak mümkün mü$f: \mathbb Q^+\rightarrow \mathbb Q^+$ öyle ki keyfi pozitif rasyonel $\epsilon$, sahibiz
$$f(\epsilon)^2 < 2 < (f(\epsilon) + \epsilon)^2 $$
?
Yanıtlar
Tanımlamak $f(\varepsilon)$ kesilmiş olmak $\sqrt{2}$ -e $n$ ondalık basamaklar, nerede $10^{-n} \leq \varepsilon$ en yakın güçtür $10$ aşağıdan.
Bu, $$f(\varepsilon) < \sqrt{2} < f(\varepsilon) + 10^{-n} \leq f(\varepsilon) + \varepsilon$$
Göstermek gerekirse, eğer $\varepsilon=0.2$ sonra $n=1$ ve eşitsizlik okur $$1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \leq 1.6$$
Al $$\epsilon\left\lfloor\frac{\sqrt2}\epsilon\right\rfloor.$$ Bu rasyonel daha az $\epsilon$ uzakta $\sqrt2$.
Herhangi bir rasyonel sayı verildiğinde , herhangi iki gerçek sayı arasında bir rasyonel sayı olduğu gerçeğini kullanarak$\varepsilon$ öyle ki $4\sqrt{2}>\varepsilon>0, \exists x \in \mathbb{Q}$ öyle ki $x \in (\sqrt{2} - \frac{\varepsilon}{2}, \sqrt{2})$, veren: $x^2 < 2$ ve $(x+\varepsilon)^2 > 2.$