Referans talebi: Diophantine denklemleri

Aug 17 2020

Diophantine denklemleri konusunda bir ders kitabı veya tercihen dersler arıyorum. Modüler aritmetiğin, koniklerin ve Hasse Prensibinin temel ilkelerine ve eliptik eğrilerin temellerine, Mordell Teoremine vb. Aşinayım (ispatı anlayabileceğim noktaya gelmeme rağmen).

İhtiyacım olan şey, beni temellerin ötesine götüren bir şey. Bana ileri teoriyi öğretecek ve ayrıca diyofantin yüzeyleri (sadece eğriler değil) öğretecek bir şey.

Yanıtlar

8 RP_ Aug 18 2020 at 10:24

Bu, (sizin gibi) Diophantine geometrisinin bazı tanım ve yöntemlerini yüzeysel olarak tanıyan biri için iyi bir seçim olabilir:

  • Marc Hindry, Joseph H. Silverman - Diophantine Geometry: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.

Aşağıdaki ikisi, bana gün içinde bolca ilham veren harika açıklayıcı makalelerdir (özellikle ilki):

  • Mazur, Barry. Eğrilerde aritmetik. Boğa. Amer. Matematik. Soc. (NS) 14 (1986), no. 2, 207–259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167

  • Mazur, Barry. Sayı teorisinde yerelden küresele geçiş hakkında ( bağlantı )

Henri Darmon'un eğrilerdeki rasyonel noktalar konusunda birkaç güzel makalesi var:

  • Eğrilerdeki rasyonel noktalar ( bağlantı )

  • Modüler eliptik eğrilerdeki rasyonel noktalar ( bağlantı )

Anthony Varilly-Alvarado, farklı yüzey türlerinde rasyonel noktalar konusuna çok iyi bir dizi giriş yaptı:

  • Del Pezzo yüzeylerinin aritmetiği üzerine dersler ( bağlantı )

  • K3 yüzeylerinin aritmetiği ( bağlantı )

Alexei Skorobogatov, 2013 yılında yüzeyler ve daha yüksek boyutlu çeşitler üzerindeki rasyonel noktalar konusunda bir kurs verdi. Notlar, erişilebilirlik ve genellik arasında büyük bir denge kurar:

  • Aritmetik geometri: rasyonel noktalar ( bağlantı )

Sonra Yonatan Harpaz'ın eliptik yüzeylerdeki rasyonel noktalara ilişkin şu notları vardır:

  • Eliptik fibrilasyonlarla ilgili akılcı noktalar - Ders notları ( bağlantı )

Son olarak (şimdilik), Brendan Hassett'in çeşitler üzerindeki rasyonel noktaların potansiyel yoğunluğu konusunda güzel bir makalesi var ve bu da çok ilginç:

  • Cebirsel çeşitler üzerindeki rasyonel noktaların potansiyel yoğunluğu ( bağlantı )
7 MaxAlekseyev Aug 18 2020 at 07:16

Örneğin

  • Sayı Teorisi: Cilt I: Araçlar ve Diyofant Denklemleri , Matematikte Lisansüstü Metinler 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; ve
  • Sayılar Teorisi: Cilt II: Analitik ve Modern Araçlar , Matematikte Lisansüstü Metinler 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2

Henri Cohen tarafından.

6 DanielLoughran Aug 18 2020 at 08:32

Modern teoride bazı cebirsel geometri olmadan ilerlemek zordur.

Kitapta benimsenen yaklaşım şudur:

  • Bjorn Poonen, Çeşitler üzerine Rasyonel noktalar, Matematikte Lisansüstü Çalışmalar 186 (2017), yayıncı sayfası , Yazar pdf .
4 GHfromMO Aug 18 2020 at 14:01

Baker yöntemi, Schmidt'in alt uzay teoremi vb. Uygulamalarla ilgileniyorsanız, Evertse ve Győry'nin son kitaplarını beğenebilirsiniz:

  • Diophantine sayı teorisinde diskriminant denklemler , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
  • Diophantine sayı teorisindeki birim denklemleri , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
3 MaciejUlas Aug 29 2020 at 09:42

Yukarıda bahsedilen kitaplara bir tane daha ekleyeceğim:

  • Akılcı ve Neredeyse Rasyonel Çeşitler (Cambridge Studies in Advanced Mathematics), J. Kollár, KE Smith ve A. Corti.

Yazarlar, klasik ve modern yöntemlerin bir karışımını kullanarak rasyonalite sorularına aşağı yukarı temel bir yaklaşım sunarlar.