Riemann'ın sayısal veya analitik BİLİNEN çözümlerinin yoğunluğu ve dağılımları $\zeta(1/2 + r i)=0?$
Riemann hipoteziyle ilgili varsayımın önemsiz sıfırların açık olduğunu biliyoruz. $$(1/2 + r i)$$ bazı $r \in \mathbb{R}$ Riemann zeta fonksiyonu.
Sorum, sayısal veya analitik olarak BİLİNEN çözümlerinin yoğunluğu ve dağılımları hakkında ne kadar bilindiğidir .$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$
İlgili bir gönderi buldum ama yaklaşık 8 yıl önceydi, bu yüzden belki daha iyi bir güncellememiz var?
Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz sıfırlarının ortalama yoğunluğu
Yanıtlar
Benim mütevazi görüşüme göre, önemli bir makale yıl içinde yayınlanan makaledir. $2014$G.Franca ve A.LeClair tarafından . Özellikle, çok iyi ve basit bir yaklaşım sağlarlar (denklem$(229)$ bağlantılı kağıtta). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ nerede $W(.)$ Lambert fonksiyonudur;
Bazı hesaplamalarını $n=10^k$, sahibiz $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$
Eric Weisstein'ın Gram noktaları için yaklaşımının Mathematica 8.0.1 türevi:
(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)
9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...
Franca-LeClair puanları veren Eric Weisstein yaklaşımının değiştirilmiş Mathematica 8.0.1 türevi:
(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)
14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...
Riemann sıfırları için doğru bir asimptotik elde etmedeki temel zorluk, Riemann-Siegel teta fonksiyonunun tersinir olmamasıdır. Kullanıcılar bana, Riemann zeta sıfırları için tam asimptotiklerin yaklaşık 120 yıldır bilindiğini ve tam asimptotiğin, Fransız Wikipedia'ya göre Riemann-Siegel teta fonksiyonunun işlevsel tersi olduğunu belirtti.