Rindler koordinatlarında hızlanma

Question

Aşağıdaki muhakemedeki temel kusuru belirtebilir misiniz?

Minkowski kullanıyorum $x^\mu$ ve Rindler koordinatları $\xi^\mu$

$$ x^\mu = (t,x) $$

$$ \xi^\mu = (\eta, \rho) $$

$$ x^\mu(\xi) = \rho \, (\sinh\eta, \cosh\eta) $$

$$ (x^1)^2 - (x^0)^2) = \rho^2; \qquad \frac{x^0}{x^1} = \tanh\eta $$

$$ ds^2 = -dt^2 + dx^2 = -\rho^2 \, d\eta^2 + d\rho^2 $$

ve dünya çizgisi, 2 hız ve 2 ivme

$$ x^\mu(\tau) = a^{-1} \; (\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

$$ \dot{x}^\mu(\tau) = (\cosh a\tau, \sinh a\tau) $$

$$ \ddot{x}^\mu(\tau) = a \,(\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

ile

$$ \ddot{x}_\mu \ddot{x}^\mu = a^2 $$

İnce.

Bu dünya çizgisini Rindler koordinatlarına dönüştürmek,

$$ \xi^\mu(\tau) = (a\tau, a^{-1}) $$

$$ \dot{\xi}^\mu(\tau) = (a, 0) $$

yani - beklendiği gibi - bu dünya çizgisi "oturur" $ \xi^1(\tau) = \text{const.} $

ancak

$$ \ddot{\xi}^\mu(\tau) = 0 \quad \implies \quad \ddot{\xi}_\mu \ddot{\xi}^\mu = 0 $$

İvme nereye kayboldu?

Answer 1

Tamam, kör olmuş olmalıyım.

Düz uzayda ancak eğri koordinatlarda ivmenin hesaplanması gerekir.

$$ a^\mu = \ddot{\xi}^\mu + \Gamma^\mu_{\kappa\lambda} \dot{\xi}^\kappa \dot{\xi}^\lambda $$

hangi güzel çalışıyor.

İpucu için teşekkürler!