Ryder'ın kitabından Elektron öz enerjisinin boyutsal düzenlenmesi

Question

Ryder'ın ders kitabını kullanarak Elektron öz-enerjisini inceliyorum, 334. sayfada

Tanımlama $k'=k-pz$ ve doğrusal terimden kaçınmak $k'$(sıfıra entegre olduğu için) \ begin {equation} \ Sigma (p) = - yani ^ 2 \ mu ^ {4-d} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu ({\ not} p - {\ not} p z + m) \ gamma ^ \ mu \ int \ frac {d ^ dk '} {(2 \ pi) ^ d} \ frac {1} {[k' ^ 2-m ^ 2z + p ^ 2z (1 -z)] ^ 2}. \ label {r2.7} \ end {equation} [...] Bu integral denklem (9A.5) yardımıyla yapılır ve \ begin {equation} \ Sigma (p ) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gama (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2}} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gama ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2}. \ end {equation}

9A.5 denklemi \ begin {equation} \ int \ frac {d ^ dp} {(p ^ 2 + 2pq-m ^ 2) ^ {\ alpha}} = (- 1) ^ {d / 2} \ imath \ pi ^ {d / 2} \ frac {\ Gama \ left (\ alpha- \ frac {d} {2} \ right)} {\ Gama (\ alpha)} \ frac {1} {[- q ^ 2-m ^ 2] ^ {\ alpha-d / 2}}. \ Tag {9A.5} \ end {equation} Sonucu elde etmek için bu integrali (9A.5) nasıl uyguladığını anlamıyorum \ begin {denklem} \ Sigma (p) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gama (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2} } \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2 }. \ end {equation} bir fikir edinmeme yardım edin.

Answer 1

Bu sadece sonucu (9A.5) içindeki integrale uygulamakla ilgilidir. $d^d k^\prime$. Aslında ara$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$ ve koy $q=0$ integralde (9A.5) $$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

entegrasyon değişkenini az önce değiştirdik $k^\prime$ -e $p$sonuçtan daha net hale getirmek için 9A.5. Gerçeğini kullanarak$\Gamma(2) = 1$, yukarıdaki tanımı kullanarak $M^2$ ve biraz olsun basitleştirerek $$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$ gerçeğini nerede kullandık $2^d = 4^{d/2}$

Answer 2

İlk denklemdeki ikinci integrali 9A5'teki grand ile karşılaştırın. Bunu görüyorsun$\alpha \rightarrow 2$, $q \rightarrow 0$, $ -m^2 \rightarrow etc.$bir integrali diğerine dönüştürecektir. 9A5'in rhs'sinde aynı ikameleri yapmak size istenen sonucu vermelidir.