Sayısı neden olmalı $\mathbb{F}_q$ derece puan $d$ eğriler $C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$ olarak azaltmak $n$ artışlar?
Bu soru, sonlu bir alan üzerinde yansıtmalı bir eğri üzerindeki noktaların sayısına ilişkin bazı mantık dışı sonuçlarla (en azından benim için) ilgilidir. Yani, eğer biri eğrinin derecesini sabitlerse, ancak çevresel projektif uzayının boyutunu arttırırsa , kişi sayısı üzerinde daha sıkı sınırlar elde edebilir.$\mathbb{F}_q$ daha fazla sayıda olmasına rağmen eğri üzerindeki noktalar $\mathbb{F}_q$ortam uzayındaki noktalar. Bunu iki örnekle daha kesin hale getirmeme izin verin.
İzin Vermek $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ projektif derece eğrisi olmak $d$. Varsayalım$C$ daha küçük herhangi bir projektif alanda bulunmaması anlamında dejenere değildir. $\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$, $k<n$.
Homma'nın Çalışması (Homma ve Kim'in genişleyen çalışması) gösterildi $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$ tek bir istisna ile (izomorfizme kadar) $\mathbb{F}_4$. Bu sözde Sziklai bağı ve$n=2$.
Bu sınır için sıkı değil $n>2$; Son zamanlarda Beelen ve Montanucci, eğer$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ dejenere değildir o zaman aslında $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$ Daha ileri varsayımları, eğer $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$genel sınır olmalıdır $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
Bu, Bucur ve Kedlaya'nın çalışmalarından bir fenomeni anımsatıyor. Örneğin: rastgele düz bir eğri$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$ sahip olması bekleniyor $$q+1$$ puan üzerinden $\mathbb{F}_q$derecesi sonsuza kadar büyüdükçe. İki yumuşak derecenin rastgele tam bir kesişim noktası$d$ yüzeyler $\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ sahip olması bekleniyor $$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$ puan üzerinden $\mathbb{F}_q$yine $d\to\infty$.
Ortam yansıtmalı uzaydaki nokta sayısı artarken (katlanarak) bu sonuçlar bana mantığa aykırı. $n$özellikle bana eğrilerin sahip olmasının daha kolay olması gerektiğini düşünüyorum.$\mathbb{F}_q$daha büyük yansıtmalı alanlara gömüldükleri noktalara işaret eder. Bunun tersinin neden doğru olması gerektiğine dair herhangi bir sezgisi olan var mı?
Referanslar:
Beelen ve Montanucci: Sonlu alanlar üzerindeki uzay eğrilerinin nokta sayısı için bir sınır
Bucur ve Kedlaya: Tam bir kavşağın pürüzsüz olma olasılığı
Homma: Sonlu bir alan üzerinde yansıtmalı uzayda bir eğrinin nokta sayısına bağlı bir sınır
Yanıtlar
Biraz sezgi elde etmenin bir yolu, (daha zayıf) kombinatoryal sınırlara bakmaktan gelir. Dejenere olmayan bir eğriniz olduğunu varsayalım$C$ bazı projektif uzayda $\mathbb P^n$. Varsayalım ki$L$ eş boyutun bir alt uzayıdır $2$ içinde $\mathbb P$ ve şu $|C\cap L|=m$. Boyut ne kadar yüksekse$n$ daha yüksek değer seçmemize izin verilir $m$. Aslında en azından her zaman bulabiliriz$n-1$ puan $C$ bu bir $\mathbb P^{n-2}$.
Bezout, herhangi bir hiper düzlem için $H$ içerir $L$, nokta sayısı $C$ yalan söylemek $H$ ve yalan söyleme $L$ en fazla $d-m$. Bu tür hiper düzlemlerin sayısı$q+1$boyuttan bağımsız olarak $|C|-m\le (q+1)(d-m)$ veya eşdeğer olarak yeniden düzenlenmiş terimlerden $$|C|\le (d-m)q+d.$$ İçin $m=n-1$ bu sınır verir $|C|\le (d-n+1)q+d$ tüm dejenere olmayan eğriler için $C$. Elbette bu, gönderide bahsettiğiniz varsayım ve teoremlerden daha zayıftır, ancak (1) Sziklai sınırını ihlal eden de dahil olmak üzere tüm eğriler için geçerlidir (2) "bağ daha sıkı hale gelir" fenomenini zaten sergilemektedir.$n$ yükselir ".