Şemayı görselleştirme $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$

Aug 19 2020

İzin Vermek $k$ cebirsel olarak kapalı bir alan ol (benim için kullanıyorum $k=\mathbb C$). bunu biliyorum$\mathrm{Spec} \, k[x]/(x^2)$ basitçe temel idealden oluşur $(x)$. Gerçekten, herhangi bir ideal$\mathfrak p$ nın-nin $k[x]/(x^2)$ ideali $k[x]$ öyle ki $(x^2) \subset \mathfrak p$.

Şimdi düşünürsek $\mathrm{Spec} \, k[x,y]/(y^2)$şimdi ana idealleri $k[x,y]$ vardır $(0)$, $(x-a,y-b)$ için $a,b \in k$ ve indirgenemez polinomlar $f(x,y)$ üreten $(f(x,y))$.

Açıkça $(y^2)\not\subset (0)$. İndirgenemez polinomlara gelince, elimizde$(y^2) \subset k[x,y]f(x,y)$bu yüzden bunlarla örtüşen ideallerin formda olduğunu söylemenin doğru olduğunu düşünüyorum. $(a+f(x)y+g(x))$ nerede $a,b \in k$ ve $f,g$indirgenemez. sanırım$(x-a,y-b)$ aynı zamanda bölüm halkasının birincil idealleri de olacaktır, çünkü bunların bölümlenmesi integral bir alan verir.

Şimdi genellemeyi anlamakla ilgileniyorum $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$. Özellikle:

  • Bu halkanın spektrumunun tüm unsurlarını sınıflandırabilir miyiz? $n \geq 1$?
  • Bu şemayı görselleştirebilir miyiz ve literatürde bir bağlamda incelendi mi?

Yanıtlar

4 Soumik Aug 18 2020 at 23:09

İzin Vermek $R=\frac {k[y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)} $

Sonra $\operatorname {Spec} \frac {k[x,y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)}=\operatorname{Spec} R[x]= \mathbb A^1_R$, yüzüğün üzerindeki afin çizgi $R$. O zamandan beri gözlemleyin$m= (\bar y_1,\bar y_2, \dots , \bar y_n )$üstelsıfır maksimal idealidir $R$, $\operatorname {Spec} R= \{m \}$yani Mumford anlamında şişman bir nokta.

Eğer $p\in \mathbb A^1_R$, içindeki imajını düşünün $\operatorname {Spec} R$ yapı morfizmi altında $\mathbb A^1_R\xrightarrow{\pi} \operatorname{Spec} R$. Böylece$\pi(p)=m$.

Sahip olduğumuzdan beri $R/m \cong k $, bire bir yazışma görüyoruz $$\operatorname{Spec} R[x] \leftrightarrow \operatorname {Spec }k[x]$$

Böylece $\textbf{sets}$ var $\mathbb A^1_R =\mathbb A^1_k $

Ama tabii ki kasnakların yapısı farklı. $\mathbb A^1_R$ yapı demetinde üstelsıfırdır.