Set bir grup mu?

Aug 19 2020

İzin Vermek $A$ boş olmayan bir set olmak, $+$ ilişkisel bir ikili işlemdir ve her biri için $a$ içinde $A$, iki harita

  1. $A \to A$ o gönderir $x$ -e $x+a$
  2. $A \to A$ o gönderir $x$ -e $a+x$

iki amaçlı haritalardır. Soru belirlenir mi?$(A, +)$ grup mu değil mi?

Anladığım kadarıyla $A$ bir kimliği varsa ve her öğenin tersi varsa bir gruptur, ancak bu önyargılı haritaların bunu kanıtlamak / çürütmek için nasıl kullanıldığından emin değilim. $A$ bir gruptur.

Yanıtlar

7 DanShved Aug 19 2020 at 10:07

Nötr öğe (kimlik)

Rasgele bir öğeyi düzeltin $a$. Haritadan beri$x \to a + x$ önyargılıdır, öğe $a$ Bu haritanın altında tam olarak bir ön görüntü var, yani benzersiz bir öğe var $e$ öyle ki $a + e = a$.

Bir sonraki adım kanıtlamaktır $\forall y: y + e = y$. Keyfi seçin$y$. Haritanın iki nesnelliğine göre$x \to x + a$ var bir $x$ öyle ki $x + a = y$. Şimdi ekliyor$x$ eşitliğin solunda $a + e = a$ (ve çağrışım kullanarak) $y + e = y$, qed.

Yani, $e$doğru tarafsız bir unsurdur. O zaman şunu not edin$e + e = e$ve yukarıdakiyle aynı argümanla $e$ aynı zamanda sol nötr bir elementtir.

Tersler

Son olarak, terslerin varlığını kanıtlamamız gerekiyor. Keyfi seçin$x$. Sol ve sağ toplamanın örtüşmesi ile, unsurlar vardır$y_1$ ve $y_2$ öyle ki $y_1 + x = e$ ve $x + y_2 = e$. Şimdi şunu not et

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

Bu nedenle, $y_1$ (Aynı zamanda $y_2$) bunun tersidir $x$.

1 ChrisCuster Aug 19 2020 at 10:17

Benzersiz bir kimlik unsuru olmalıdır:

Benzersiz bir $e_a$ her biri için $a$ öyle ki $ae_a=a$.

Şimdi benzersiz olanı alarak $c$ öyle ki $ca=b$bunu anlıyoruz $cae_a=be_a$ ve ayrıca $cae_a=ca=b$, Böylece $be_a=b$ ve böylece $e_a=e_b$.

Böylece, eşsiz bir sağ tersi var. Benzer şekilde, benzersiz bir sol ters vardır. Şimdi ikisinin eşit olduğunu göstermemiz gerekiyor. Ama bu kolay, çünkü$e_le_r=e_r=e_l$.

Şimdi bijektivite, benzersiz bir $x_a$ öyle ki $ax_a=e$. Ve benzer şekilde benzersiz bir$y_a$ öyle ki $y_aa=e$. Ama sonra$y_aax_a=x_a=y_a$.

Böylece, bir grup için dört koşulu karşıladık, çünkü kapanış ve çağrışım esasen verildi.

hal Aug 19 2020 at 21:45

En azından sonlu için $A$, evet, bu bir gruba sahip olmak için yeterli.

Aramak $\theta_a$ ve $\gamma_a$sırasıyla, sabit bir eleman tarafından sol ve sağ çeviri haritaları $a\in A$. Şimdi, varsayımla,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ ve (çağrışım) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. Bu nedenle (kapanış)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, ve dolayısıyla $\exists \tilde e\in A$ öyle ki $\theta_{\tilde e}=Id_A$. Aynı şekilde olmak$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ öyle ki $\gamma_{\hat e}=Id_A$; fakat$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ ve dolayısıyla sol ve sağ kimlikler çakışır $e:=\tilde e=\hat e$.

Şimdi, o zamandan beri $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, sonra $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ öyle ki $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ Veya eşdeğer olarak, $a\tilde b=\hat ba=e$; bu sonuncudan örneğin $\hat ba=a\hat b$nereden $a\tilde b=a\hat b$ Veya eşdeğer olarak, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, ve sonunda $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.