Sezgisel olarak nasıl anlaşılır $n$boyut büyüdükçe boyutlu küp [yineleme]
Okuduğum Yani * o dışbükey vücut için, yani küp$[-1,1]^n$ içinde $\mathbb{R}^n$, onu içeren en küçük topun yarıçapı vardır$\sqrt{n}$küpün içindeki en büyük topun yarıçapı varken$1$.
Ayrıca,
"... boyut büyüdükçe, küp bir topa gittikçe daha az benziyor."
Bunları ne zaman görselleştiririm $n\geq 4$? Sadece göremiyorum!
Buradaki sezgilerle ilgili biraz yardım alabilirsem harika olur. Teşekkürler!
* Bkz. Sayfa 2
Keith Ball, Flavors of Geometry'de "Modern dışbükey geometriye temel bir giriş" , Silvio Levy ed., Cambridge 1997.
Düzenleme: Önerilen cevaplar çok iyi olsa da, sorumda ilgilendiğim belirli geometrik yapıya hitap ettiklerini sanmıyorum.
Yanıtlar
Daha yüksek küpleri ve küreleri görselleştirebileceğimizi düşündüren nedir? İçin$n=4$ nesnenizin kesişme noktasını çizmek için bir tür zaman kaydırıcısı kullanmak gibi oyunlar oynayabilirsiniz. $xyz$hiper uçak, ancak $n>4$ bu tür hackler çok hızlı bir şekilde kullanılamaz hale gelecektir.
Sezgi Eğer alıntı olanlar gibi gerçekler arkasında, sezgi ama değil hesaplama . Bir anlamda matematik, 2, 3 veya hatta belki 4 boyutlu uzay sezgimiz etrafında inşa edilir, bununla demek istediğim çoğu tanım bu düşük boyutlu dünyalardaki bir şeyi taklit eder. Yine de, boyutun gereksiz olması açısından tanımlar çok daha geneldir, bu yüzden daha yüksek boyutlarda ne yaptıklarını bulmaya çalışabiliriz (çok sayıda düşünerek). Orada neler olduğunu göremememiz çok üzücü, çünkü elbette yeterince şey bozulmaya başlıyor. Manifoldlar düzleştirilemez hale gelir veya birden çok farklı pürüzsüz yapıya sahiptir, sınıflandırma sonuçlarının elde edilmesi imkansızdır ve küreler sivri hale gelir ve hesaplama açısından oldukça yabancı görünmeye ve davranmaya başlar. Bir örnek vermek gerekirse: Poincare varsayımı, milenyum problemlerinden biriydi (yani Riemann hipoteziyle aynı zorluk seviyesinde idi veya$P$ vs $NP$) ve hakkındaydı $3$küreler. Daha yüksek geometri zordur .
Öte yandan, soyut matematiğin tüm eğlencesi budur. Küçük bir örnek koleksiyonundan türetilen sezgisel tanımlar, çok geçmeden daha egzotik ama ilginç örneklere sahip olur, bu da tanımı daha da ilginç ve çalışmaya değer kılar.