Shakarchi'nin Lang's Lisans Analizinde 1.3.4 kanıtının açıklaması

Aug 18 2020

Şu anda Lang's Undergraduate Analysis üzerinde çalışıyorum ve Rami Shakarchi'nin aşağıdaki kanıtları anlamaya çalışıyorum:

İzin Vermek $a$ pozitif bir tamsayı olacak şekilde $\sqrt a$irrasyoneldir. İzin Vermek$\alpha = \sqrt a$. Bir numara olduğunu göster$c > 0$ öyle ki tüm tamsayılar için $p, q$, ile $q > 0$ sahibiz $\mid q \alpha - p \mid > c/q$.

Shakarchi'nin ispatının bir ekran görüntüsünü aşağıya ekledim:

Bu ispatla ilgili anlayışım şu şekildedir:

Lang tarafından verilen öneri, $q \alpha - p$yani ürünü al $(q\alpha - p)(-q\alpha - p)$. Bunu yapmak getiri sağlar

$(q\alpha - p)(-q\alpha - p) = -q^2 a + p^2$

Hatırlama $q, a, p \in \mathbb{Z}$, ile $q > 0$ ve ayrıca $\sqrt a \notin \mathbb{Q}$, özellikle $a \neq 0$. Sonra$\mid(q\alpha - p)(-q\alpha - p)\mid \geq 1 \leftrightarrow \mid q\alpha - p\mid \geq \frac{1}{\mid -q\alpha - p\mid} = \frac{1}{\mid q\alpha + p\mid}$

Bir şekilde düştüğüm yer bir sonraki bölümde - seçiyoruz $c$ öyle ki $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$. Sanırım seçeriz$c$ bu şekilde davayı halletmek için $\mid \alpha \mid < 1$ Böylece $\frac{1}{3\mid\alpha\mid} > 1$. Eğer durum buysa, o zaman gerçekten herhangi bir pozitif katsayı seçebiliriz$\mid \alpha \mid$ şeytanın içinde, yani $\frac{1}{2\mid\alpha\mid}$ veya $\frac{1}{4\mid\alpha\mid}$ aynı şekilde işe yarar.

Şimdi, elde edilen sonucu kullanarak $\textbf{1}$ ve hipotezimiz, eşitsizliği $\textbf{2}$. En soldaki eşitsizliğin nasıl elde edildiğini bilemiyorum - bunu hipotezle biliyorum$\mid \alpha - p/q \mid < \mid \alpha\mid$ ve ekliyoruz $\mid 2\alpha \mid$ en doğru eşitsizliği elde etmek için her iki tarafa da.

Sonra son eşitsizlikte, bunu nasıl bildiğimiz bana açık değil $\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$.

Bu iki noktaya bir cevap arıyorum:

  1. Yukarıda ana hatlarıyla açıkladığım adımlar için bir açıklama, yani seçim $c$ (neden seçiyoruz $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$), en soldaki eşitsizlik $\textbf{2}$ve orta eşitsizlik $\textbf{3}$.
  2. Bu kanıt benim için oldukça mantıksızdı - rasyonelleştirmeyi bile düşünmedim $q \alpha - p$Bu sorun üzerinde ilk çalıştığımda. Bunun gibi çalışma problemleri ile pratik yaparak görmeye başladığınız türden bir şey olduğunu hayal ediyorum. Yine de, muhtemelen daha basit veya daha doğrudan bir kanıt var mı?

Yanıtlar

3 fleablood Aug 18 2020 at 11:56

Üçgen eşitsizliği

$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - \alpha +\frac pq| \le |2\alpha| + |-\alpha + \frac pq|=|2\alpha| + |\alpha -\frac qp| < |2\alpha| + |\alpha|=3|\alpha|$

Nedeni $3$ seçilmesinin sebebi şuydu: $|\alpha -\frac pq|$bir şeyden daha büyük. Ama eğer$|\alpha-\frac pq|< |\alpha|$ doğrudan alamıyoruz çünkü sadece biliyoruz $|\alpha-\frac pq|$bir şeyden daha küçük. Bunun yerine birlikte çalışmalıyız$|\alpha + \frac pq|$bir şeyden daha büyük olmak. Ama nasıl dönüştürebiliriz$|\alpha + \frac pq|$ içeren bir şeye $|\alpha -\frac pq|$? Peki yaptıkları yol$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - (\alpha - \frac pq)|$. Ama bu iki ekstra fırlatıyor$\alpha$işlerin içine.

"bunu nasıl bildiğimiz bana açık değil$\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$"

Sen var $|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|$

Yani $q|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|q$

$0< |q\alpha + p| < 3|\alpha|q$

$\frac 1{3|\alpha| q} < \frac 1{|q\alpha + p|}$.

2 inavda Aug 18 2020 at 11:32

2'deki en soldaki eşitsizliği anlamam da biraz zaman aldı :)

Üçgen eşitsizliği:

$$|a|+|b| \geq |a+b| \,.$$

3'teki orta eşitsizlik , 2'den itibaren genel eşitsizliktir .

Un seçimi $c$ daha esnek olabilir, ancak bence 3'ü kullanmak yukarıdakilerin hepsini iptal eder ve daha güzel çalışır.