" $\Sigma_1^1$-Peano aritmetiği ”- sabitliyor mu $\mathbb{N}$?

Question

İzin Vermek $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$Olağan birinci dereceden Peano aksiyomlarını keyfi de içerecek şekilde genişleterek elde edilen ikinci dereceden mantıktaki teori olabilir.$\Sigma^1_1$indüksiyon şemasındaki formüller. Sorum şu:

Yapar $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ standart olmayan modeller var mı?

Bir model olduğuna dikkat edin $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ tam olarak bir modeldir $\mathsf{PA}$ hayır ile (önemsiz uygun) $\Sigma^1_1$- tanımlanamayan kesintiler.

Değiştirirsek $\Sigma^1_1$ ile $\Pi^1_1$ bir modelin standart unsurları kümesi olduğundan, cevap hemen olumsuzdur. $\mathsf{PA}$ dır-dir $\Pi^1_1$. Ancak, benzer hiçbir şey işe yaramıyor gibi görünüyor$\Sigma^1_1$ (açık olan bir şeyi kolayca gözden kaçırabilirim)

Hızlı bir gözlem şudur: $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$gerçek birinci dereceden aritmetik gerektirir . Birinci dereceden bir formül verildiğinde$\varphi(x)$, İzin Vermek $\hat{\varphi}(x)$ ol $\Sigma^1_1$ formül "içeren bir kesim var $x$ öyle ki kesimin her unsuru tatmin eder $\varphi$." Eğer $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ biz önemsiz olarak sahibiz $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; tümevarım yoluyla karmaşıklığı$\varphi$ gösterebiliriz ki, her standart doğal sayı, $\varphi$ sonra $0\in\hat{\varphi}^M$ ve sonuç olarak $M\models\forall x\varphi(x)$ (sonra verir $M\equiv\mathbb{N}$). Ancak, kategorikliği elde etmek için bunu nasıl kullanacağımı bilmiyorum. Aslında, bildiğim kadarıyla, örneğin$\mathbb{N}$ tatmin eder $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Dikkat$\Sigma^1_1$cümleler ultra güçler altında korunur; ancak, bir için tümevarım örneği$\Sigma^1_1$ formül $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ ve $\Pi^1_1$ cümleler ultra güçler altında korunmaz, bu yüzden bu yardımcı görünmüyor.)

Answer 1

İzin verirsen $\Sigma^1_1$ parametrelere sahip formüller, ardından PA$_{\Sigma^1_1}$sadece standart modele sahiptir. Kanıtlamak için kullanın$\Pi^1_1$ bir üretmek için standardın tanımı $\Sigma^1_1$ formül $\sigma(x,y)$ bunu söylemek $x<y$ ve $y-x$ standart değil, yani $x$ sonsuz derecede aşağıda $y$. Bunu göstermek kolay$\sigma(x,y)$ ima eder $\sigma(x+1,y)$. Yani, tarafından$\Sigma^1_1$ indüksiyon, eğer $\sigma(0,y)$ sonra $\forall x\,\sigma(x,y)$ ve özellikle, $\sigma(y,y)$, ki bu çok saçma. Yani$\neg\sigma(0,y)$. Ama bu demek oluyor ki$y$ standarttır.