Simetrik sistemlerin ürün zorlaması
Zorlama fikirleri ailesi verildiğinde $(P_i)_{i\in I}$ ürünü alabiliriz $P:=\prod_{i\in I}P_i$ formun genel bir filtresini oluşturmaya zorlayan bir kavram olarak $G=(G_i)_{i\in I}$ öyle ki her biri için $i\in I$ projeksiyon $G_i$ ile zorlarken oluşturulan genel filtreye karşılık gelir $P_i$. Buna ürün zorlaması adı verilir ve aynı anda birkaç farklı türdeki genel nesneyi birleştirmemize izin verir. (Konuyla ilgili daha ayrıntılı bir tartışma için bkz. Ürün zorlama ve genel nesneler )
Şimdi sorum, ürün zorlamanın simetrik zorlamayla birleştirilip birleştirilemeyeceğidir. Yukarıdaki gibi zorlayıcı kavramlardan oluşan bir ailemiz ve bir grup ailemiz olduğunu varsayalım.$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ Hem de $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ öyle ki $\mathcal{G}_i$ alt grubudur $Aut(P_i)$ ve $\mathcal{F}_i$ normal bir filtredir $\mathcal{G}_i$ hepsi için $i\in I$. Sadece tanımlayabilir miyiz$P$ yukarıdaki gibi $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ üzerinde hareket etmek $P$ bileşensel ve $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ normal bir filtre olarak $\mathcal{G}$ ?
Örneğin, Cohen'in orijinal simetrik modelini düşünün. $ZF+\neg AC$ Sayısız genel gerçekle birleştiği ve ardından sonsuz bir alt küme oluşturmaya devam ettiği $A\subset \mathbb{R}$herhangi bir sayılabilir sonsuz altküme olmadan. Daha sonra yukarıda açıklanan yapı bize bitişik olmamıza izin vermelidir$I$ bu tür birçok set $(A_i)_{i\in I}$ bir kerede.
Bu tip yapıda karşılaşılabilecek herhangi bir zorluk var mı (yani simetrik ürün zorlaması)? Konuyla ilgili herhangi bir literatür var mı?
Yanıtlar
Evet, literatürde bunlardan çok var. "Soyut çerçeve" yollarında çok az olmasına rağmen. Bu, esasen zorlamanın ilk günlerinden itibaren yapılmış bir şeydir ve bunun kanıtlarını ilk makalelerde bulabilirsiniz.
Benim işlerimde
Karagila, Asaf , Simetrik uzantıları yineleyerek, J. Symb. Günlük. 84, No. 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , Morris modeli , Proc. Am. Matematik. Soc. 148, No. 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Daha genel bir tedavi bulabilirsiniz. Ürünler, belirli bir yineleme durumudur ve ilk makale, desteğin sonlu olduğu durumla ilgilidir. Bununla birlikte, bir ürün söz konusu olduğunda, yinelemeleri keyfi desteklere genelleştirmenin bazı zorluklarından kurtulabiliriz ve işin bir kısmı ikinci makalede yapılır.
Buna ek olarak, pek çok yerde "elle" tanımlanan ürünleri görebiliyorsunuz, tanımların her türlü simetrik sistem için geçerli olduğunu görmek kolaydır (ancak ürünler normalde Cohen tarzı zorlamalarla kullanılır). İşte bu konuyu oldukça sık değiştiren çalışmamdan bazı yeni örnekler ve daha eski örnekler.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Tekdüzelik Spectra. , Commentat. Matematik. Üniv. Carol. 60, No. 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam ile emirleri kardinallere yerleştirme . Matematik. 226, No. 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , Fodor'un lemması her yerde başarısız olabilir , Acta Math. Asılı. 154, No. 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , Dedekind-sonlu kümelere ilişkin bağımsızlık sonuçları , J. Aust. Matematik. Soc., Ser. Bir 19, 35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , Eşsiz bir ikili kardinaller sınıfı , Colloq. Matematik. 58, No. 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
Tüm bunların arasında, sayılabilir (veya $\kappa$-) destekler, Easton destekler ve başka herhangi bir şeye doğru sıçradığını göreceksiniz (şimdi sadece başka türden bir karışık destek gerçekten aynıdır).
Hatta filtrelerin ve grupların ürünündeki desteği değiştirmekten bahsedebildiğimiz için artık daha fazla gücümüz var. Bunun çok daha fazlasını söyleyebileceğimiz anlamına geldiğini düşünürsünüz, ama aslında, genellikle alakasızdır.
Yinelemeler hakkındaki makalemde "azim" adlı bir kavramı anlattım. Doktora derecemin sonuna doğru. Yair Hayut ile yaptığım birçok tartışmadan birinde, bu kavramın altında gerçekten ne yattığını anlamaya karar verdik. Ve her simetrik sistemin inatçı bir sisteme eşdeğer olduğu ortaya çıktı. Ve bu, farklı desteklerle oynamanın (örneğin, zorlamada Easton kullanırken filtrelerde sınırlı destek) genellikle kullandığınız en küçük desteğe eşdeğer olduğu anlamına gelir. Her zaman değil, ama genellikle.
Cohen modeline gelince, bu biraz zor. Her bir jenerik gerçektir ve sadece bunları önemsemiyoruz, aynı zamanda tüm jeneriklerin setini de önemsiyoruz . Yani bu aslında bir ürün değil, daha ziyade her bir gerçek eklemenin bir yinelemesidir, tüm gerçeklerin kümesini eklemeyerek seçimi ihlal eder ve daha sonra iyi sıralaması olmadan jenerikler kümesini eklemeye zorlanır. Bütün bunlar, onu tek bir uzantı olarak düşünme yaklaşımını çok daha basit hale getiriyor.