Sınırlı varyasyon dizilerinde monotonluğun rolü.

Question

Hatırlamak; Bir dizi$\left\{x_{n}\right\}$eries ise, gerçek sayıların sınırlı varyasyona sahip olduğu söylenir.$$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$yakınsar.

Yakınsak dizinin sınırlı varyasyon dizisi olması gerekmediğini biliyoruz.$x_n=\frac{1}{n}$hatta için$n$ve$0$garip için$n$. Peki ya monoton yakınsak diziler? Sınırlı varyasyon dizisi mi? Eğer öyleyse, bunu nasıl kanıtlayabilirim?

Answer 1

İpucu: Eğer$\{x_n\}$yükseliyor,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$