SIR epidemik modelinin asimptotik davranışı

Question

SIR epidemik modeli, zamana bağlı üç değişken için üç diferansiyel denklem sunar $s(t), i(t), r(t)$:

$$\begin{align} \frac{ds}{dt} & = - \beta i s \\ \frac{di}{dt} & = \beta i s - \gamma i \\ \frac{dr}{dt} & = \gamma i \end{align}$$

Değişkenlerin negatif olmadığı varsayılır, $s(t) + i(t) + r(t) = 1$ve katsayılar $\beta, \gamma$olumlu. Literatürde, kendiliğinden açık olduğu iddia edilmiş veya alınmıştır.

$$ \lim_{t \to \infty} i(t) = 0 $$

Bu davranış nasıl kesin bir şekilde kanıtlanabilir?

Answer 1

İlk önce sadece faz diyagramına bakmamız gerektiğini fark edin $s\times i$, dan beri $r=1-s-i$. Faz diyagramına baktığımızda zamanı görmezden geleceğiz (yörüngenin farklı bölümleri farklı hızlarda gerçekleştirilecektir), bu mümkündür çünkü sistem otonomdur.

Öncelikle, sistemin bir noktaya yakınlaştığını kanıtlamamız gerekiyor, sonra adayları bulacağız. İzin Vermek$V(s,i) = s$, sahibiz $\frac{d}{dt}V((s(t), i(t))) = -\beta s(t)i(t) \leq 0$, sonra LaSalle teoremine göre: $$ \lim_{t\to\infty} d( (s(t), i(t)), E) = 0$$ nerede $E = \{ (s,i) : -\beta si = 0 \} = \{ (s,i) : s = 0\text{ or }i=0 \}$.

Şimdi yörüngeleri inceleyebilir ve kesin sınırı bulabiliriz.

Dikkat edin eğer $\exists t^*$ öyle ki $i(t^*)=0$ veya $s(t^*)=0$İşimiz bitti. Dosya$i(t^*) = 0$ null türevi vardır ve durum $s(t^*) = 0$ ima ediyor ki $i(t)$ üstel bozunmaya sahiptir.

SEIR özerk bir sistem olduğu için, örtük fonksiyon teoremine göre, şu noktalara sahibiz: $\frac{ds}{dt} \neq 0$: $$ \frac{di}{ds} = \frac{ \frac{di}{dt} }{ \frac{ds}{dt} } = \frac{\gamma}{\beta s}-1 \Rightarrow i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln{\frac{s}{s_0}} - s + i_0 + s_0 $$

Sahibiz $\frac{ds}{dt} \neq 0 \Leftrightarrow s> 0\text{ and }i>0$. Ve aynı zamanda doğru$s$ ile azalıyor $t$ açık $s>0$ ve $i>0$. Yani:$$ \lim_{t\to\infty} i(t) = \inf_{\substack{i>0\\s_0\geq s>0}} \left\{\frac{\gamma}{\beta}\ln{\frac{s}{s_0}} - s + i_0 + s_0 \right\} = 0$$

$$ \lim_{t\to\infty} s(t) = \inf \{ s\geq 0 : i(s) \geq 0 \}$$

Yukarıdaki inf, çünkü $\lim_{s\to 0} i(s) = \lim_{s\to \infty} i(s) = -\infty$ (sadece eğlence için: aynı zamanda bir maksimum $s=\frac{\gamma}{\beta}$herhangi bir başlangıç ​​noktasından $s> \frac{\gamma}{\beta}$ de enfeksiyon büyüyecek $s = \frac{\gamma}{\beta}$ ve sonra ulaştığımızda çürümeye başlar $s\leq \frac{\gamma}{\beta}$ sözde "sığır bağışıklığına" sahibiz).

Elimizdeki her şeyi planlıyoruz: