Sıra mı $\{f_n\}$ yakınlaşmak $L^1$?

Question

İşlevlerin sırasını düşünün $f_n\in L^1(\Bbb R)$ tarafından tanımlandı $f_n(x)=n\chi_{(0,1/n)}(x)$ için $x\in\Bbb R$. Sıra mı$\{f_n\}$ yakınlaşmak $L^1$?

Girişim. Ben öyle olmadığını düşünüyorum. Varsayalım ki bir fonksiyon var$g\in L^1(\Bbb R)$ öyle ki $f_n\to g$ içinde $L^1$. Sonra Minkowski eşitsizliğine göre$$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1\geq \lim_{n\to\infty}|\|f_n\|_1-\|g\|_1|=\lim_{n\to\infty}|1-\|g\|_1|=1-\|g\|_1$$ ima ediyor ki $\|g\|_1\geq 1.$ Diğer yandan, $$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1=\lim_{n\to\infty}\int_{\Bbb R}|f_n(x)-g(x)|dx.$$Burada, Lebesgue Dominated Convergence Teoremini kullanabileceğimizden emin değilim. Eğer öyleyse, biz alırız$\|g\|_1=0$çelişki. Ayrıca bunu görmek çok kolay$f_n$noktasal olarak sıfır fonksiyonuna yakınsar. Teşekkürler!

Answer 1

Basit cevap: Eğer yakınsarsa, sadece sıfır fonksiyonuna yakınsayabilir. Bunun nedeni yakınsamanın$L^{1}$ bir alt dizi için ae yakınsaması anlamına gelir ve noktasal sınır şu şekildedir: $0$. Şimdi$\int |f_n-0|=1$ yani $(f_n)$ yakınlaşmıyor $L^{1}$.