Sıra sayılarının çeşitli imzalarda tanımlanabilirliği
Son zamanlarda, sayılabilir sıra sayılarının tanımlanabilir alt kümelerinin, sıra sayılarının yapısına "erişmek" için çeşitli yollarla donatılmış çıplak kemikler birinci derece mantığı (küme teorisi değil) perspektifinden "nasıl göründüğünü" inceliyorum.
Örneğin, yalnızca 2 bölgeli ilişkisel bir sembolden oluşan bir imzamız olabilir. $S$ bir yapıda yorumladığımız $\mathcal{A}$ temel set ile $\omega_1$ kümesi olarak $(\alpha,\beta)$ öyle ki $\beta$ halefi $\alpha$. Daha sonra hangi alt kümeler hakkında sorular sorabiliriz$\mathcal{A}$ bu imzayla birinci derece mantık cümleleri ile tanımlanabilir, $S\subset\mathcal{A}$ birinci dereceden bir mantık cümle varsa tanımlanabilir kabul edilir $\phi(x)$ bunun için tatmin edici ödevler $x$ dır-dir $S$. Örneğimizde, tüm sayılabilir ardıl sıra sayıları kümesini formül aracılığıyla tanımlayabiliriz$\exists y:S(y,x)$.
"En küçük sıra nedir?" Gibi sorular da sorabiliriz. $\alpha$ öyle ki $\alpha$ anlamında tanımlanamaz $\{\alpha\}$ tanımlanamaz "ve böyle. Yukarıdaki örnekte, aslında hiçbir ordinalin tanımlanamayacağı açıktır, bu nedenle en küçük tanımlanamayan ordinal sıfırdır. Daha güçlü ve daha güçlü imzalara sahip olduğumuz için en küçük tanımlanamayan ordinalin nasıl büyüdüğüyle özellikle ilgileniyorum. Örneğin, imza ile kendimi ikna edebildim $\{<\}$ bariz yorumuyla $\omega_1$ "ilişkiden küçük" olarak, tanımlanamayan en küçük sıra $\omega^\omega$ (iddiamı henüz resmi olarak yazmamış olsam da).
Sorum şu: Bu tür sorular üzerinde çalışan var mı? Diğer çeşitli imzalar için en küçük tanımlanabilir sıranın ne olduğu biliniyor mu?$\{ADD(x,y,z)\}$ hangisi hepsinde doğru $x,y,z$ Böylece $x+y=z$veya çarpma, üs alma, veblen işlevleri veya daha fazlasını içeren diğer imzalar? Bu fikirlerin bilinen herhangi bir genellemesi var mı? Herhangi bir yardım veya ilgili literatür takdir edilecektir.
Yanıtlar
Yorum eklemek için yeterli itibarım yok. Aşağıdaki kağıt sizin için faydalı olabilir. Tarski, Mostowski ve Doner'in çalışmalarını genişleten sonuçların yanı sıra bazı çok güzel tarihsel bakış ve referanslar içerir.
Buchi, Siefkes - Monadik İkinci Derece Sayılabilir Sıra Teorisinin Tam Uzantıları.
Zayıf monadik ikinci derece mantık, Ehrenfeucht'un orijinal çalışmasında zaten görünüyor. Sadece birinci dereceden sonuçlarla ilgileniyor olsanız bile, (zayıf) monadik ikinci derece mantık bir rol oynayabilir.
Örneğin, birinci dereceden sıralı toplama teorisi, içindeki sıralı toplama birinci dereceden teorisi ile çakışır. $\omega^{\omega^{\omega}}$ (Ehrenfeuct tarafından) $(\omega^{\omega^{\omega}},+)$ genelleştirilmiş bir gücün azalmasıdır $(\omega,+)$ 'üs', zayıf monadik ikinci dereceden versiyonudur. $(\omega^{\omega},<)$(Feferman-Vaught teoremi bunu anlamak için doğru araçtır). Daha fazla ayrıntı için Thomas - Ehrenfeucht, Vaught ve zayıf monadik halef teorisinin karar verilebilirliği var , buradaki detayların hepsi doğru, ancak sonuçların bazı sorunları olduğunu düşünüyorum.
Ayrıca Cachat - Tree Automata Make Ordinal Theory gibi otomata tarafında daha yeni çalışmalar da var . Bunun içeriği hakkında hiçbir şey bilmiyorum ama alan hakkında kapsamlı bir genel bakış istiyorsanız, bu belki bir başlangıç noktasıdır.