Sol koset $H$ içinde $G$ bölüm $G$
İzin Vermek $G$ grup ol ve $H$bir alt grup. Sonra sol koset$H$ içinde $G$ bölüm $G$. Özellikle,$(1)$ her biri $a$ ∈ G tam olarak bir sol köşede, yani $aH$, ve $(2)$ Eğer $a, b \in G$, O zaman ya $aH = bH$ veya $aH \cap bH = \emptyset $.
Parça $(2)$bitti. Benim sorunum kısmen$(1)$, Bunu denedim ama gerçekten emin değilim:
İzin Vermek $a\in G$bizde var $e\in H$, yani $a\in aH$, dan beri $a=ae$. Bu gösteriyor ki$a$ bazı sol kuyrukta, $aH$.
Şimdi eğer $a\in aH$ ve $a\in bH$bizde var $a=ae=abh$, yani $bh=e$ ve böylece $a$ tam olarak bir sol kuyrukta yatıyor.
Haklı mıyım
Yanıtlar
Kanıtladığınızı varsayarak (2) devam ediyorum:
$\mathbf{Theorem 1:}$ İçin $a,b \in G$ kanıtla $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.
$\mathbf{Theorem 2:}$ İçin $a,b \in G$ kanıtla $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$
Sonra aşağıdaki koşullar denktir: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Dan beri $e \in H, a=ae \in aH$. İzin Vermek$a \in bH$. Sonra$aH=bH$. Böylece$a$ tam olarak bir sol kosete ait.