Sonsuz boyutlu bir vektör uzayının dualinin bir alt uzayının çift yok edicisi

Aug 16 2020

İzin Vermek $V$Bir olmak sonsuz boyutlu vektör uzayı ve$V^*$onun ikili.
Doğrusal bir alt uzay için$W\subset V$ tanımlamak $W^ \circ\subset V^*$ doğrusal formların alt uzayı olarak $V$ Ortadan kaybolmak $W$.
İkili, için$\Gamma\subset V^*$ tanımlamak $\Gamma^\diamond \subset V$ vektörler kümesi olarak $v\in V$ öyle ki $\gamma(v)=0$ tüm doğrusal formlar için $\gamma\in \Gamma$.
Tüm alt uzaylar için sahip olduğumuzu göstermek biraz şaşırtıcı ama çok da zor değil.$W\subset V$ eşitlik $(W^\circ) ^\diamond=W$.
Ama bu herkes için doğru mu$\Gamma\subset V^*$ sahibiz $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
Ve bu problemden bahsedildiği bir referans (makale, kitap, ders notları, ...) var mı?

Yanıtlar

5 LSpice Aug 16 2020 at 21:12

Hayır, $(\Gamma^\diamond)^\circ$ her zaman eşit olması gerekmez $\Gamma$. İzin Vermek$\mathcal B$ temel olmak $V$ve izin ver $\Gamma$ 'ikili' setin kapsamı $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, yani $e_b(c)$olan Iverson braket $[b = c]$ hepsi için $b, c \in \mathcal B$. Sonra$\Gamma^\diamond$ dır-dir $0$, yani $(\Gamma^\diamond)^\circ$ hepsi $V^*$; fakat$\Gamma$ örneğin kendisi şu öğeyi içermez: $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ nın-nin $V^*$.

3 lefuneste Aug 16 2020 at 21:26

Eşitlik genel olarak yanlıştır.
İşte bir karşı örnek: bir temeli düzeltin$v_i, i\in I$ nın-nin $V$ ve koordinat doğrusal formları kümesini düşünün $v^*_i, i\in I$.
Bu formlar doğrusal olarak bağımsız ama bir temel teşkil asla beri$V$sonsuz boyutludur.
Öyleyse bu formları bir temelde doldurun$(v^*_j), j\in J$ ile $J\setminus I\neq\emptyset$.
Seç$l\in J\setminus I$ ve koy $J'=J\setminus \{l\}$
Eğer tanımlarsan $\Gamma \subset V^*$ tarafından oluşturulan vektör uzayı olarak $v_j^*, j\in J'$, sonra $\Gamma^\diamond =0$ (zaten alt uzayından beri $V^*$ tarafından üretilen $v_i^*, i\in I$ içindeki tüm vektörleri öldür $V$) Böylece $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ gerekli karşı örneği verir.