Sürekli türevlenebilirin doğru tanımı nedir?
Varsayalım $V$ ve $W$ Banach uzaylarıdır, $U\subset V$ açık ve $F:U\to W$türevlenebilir bir fonksiyondur. Sonra türevi$F$ harita $$ DF:U\to B(V;W) $$ nerede $B(V;W)$ sürekli doğrusal haritaların Banach uzayıdır $V\to W$.
Biz söylüyoruz $F$olduğu sınıfın $\mathcal{C}^1$ bir noktada $x_0\in U$ eğer eşleme $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ sürekli $x_0$; bunu söylüyoruz$F$olduğu sınıfın $\mathcal{C}^1$ açık $U$ Eğer $F$ sınıfın $\mathcal{C}^1$ her noktada $U$.
Eğer $X$ Banach uzayının keyfi bir alt kümesidir $V$ ve $f:X\to W$ bir haritadır, sonra şunu söyleriz $f$olduğu sınıfın $\mathcal{C}^1$ açık $X$ açık bir alt küme varsa $U$ nın-nin $V$ nerede $X\subset U$ ve bir işlev $F:U\to W$ sınıfın $\mathcal{C}^1$ açık $U$ nerede $F|_X=f$. (Gayri resmi olarak uzatabiliriz$f$ sınıfının olduğu açık bir sete $\mathcal{C}^1$.)
Bir işlev için bu yanıta bakın$f$sadece tek bir noktada sürekli olarak farklılaştırılabilir. Yani, eğer$g(t)=t^2\sin(1/t)$ için $t\in\mathbb{R}$ sonra işlev $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ sürekli olarak farklılaştırılabilir $t=0$. Ancak,$f$ menşe noktasına keyfi olarak yakın kesintiler vardır, bu nedenle $f$ sınıf olamaz $\mathcal{C}^1$ içeren herhangi bir açık sette $0$.
Yani, $f$ sınıfın bir fonksiyonudur $\mathcal{C}^1$ -de $0$, fakat $f$ değil $\mathcal{C}^1$ açık $\{0\}$.
Bu bana doğru gelmiyor. Elbette, karşılaştığımız bir işlevin bu şekilde davranması "tipik" değildir. Ancak bu örnek beni hala rahatsız ediyor. Ne yapabiliriz? Bunun olmaması için yukarıdaki tanımları biraz değiştirebilir miyiz? Referans verdiğim cevap bir şekilde yanlış mı? (Onun belirttiği sonuçları ispatlayamadım ...)
Yanıtlar
Bildiğim şekilde, bir işlev $\mathcal C^1$ sette $X\subseteq V$ Eğer öyleyse $\mathcal C^1$ iç kısmında $X$ ve $\mathrm Df$ sürekli olarak genişletilebilir $X$. Bu tanımla, örnek işleviniz şöyle olacaktır:$\mathcal C^1$ açık $\{0\}$, çünkü bu setin içi boş ve herhangi bir işlev boştur $\mathcal C^1$boş sette. Ancak bu tanım gerçekten yalnızca içi boş olmayan setlerde ilginçtir . Bu tanımın yerine getirmeyen kümeler üzerindeki davranışı$X=\overline{X^\circ}$, sevmek $\{0\}$, sadece komik bir eser. Ayrıca, şu işlevlerle sonuçlanır:$\mathcal C^1$ açık $\{0\}$, Ama değil $\mathcal C^1$ içinde $0$Yani bahsettiğiniz ikilemin tam tersi.
Bu nedenlerden ötürü, kendinizi açık kümeler veya açık kümelerin kapanmasıyla sınırlamak ve endişelenmemek genellikle en iyisidir $\mathcal C^1$tekli setlerde -ness. Zaten büyük bir anlayış sağlamaz. Sonra bir tanım şöyle okunur:
İzin Vermek $U\subseteq V$açık ol. Sonra$\mathcal C^1(U,W)$ sürekli türevlenebilir tüm işlevlerin kümesidir $U\to W$, ve $\mathcal C^1(\overline U,W)$ tüm sürekli işlevlerin kümesidir $f:\overline U\to W$ hangisi için $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ öyle ki $\mathrm D(f\vert_U)$ sürekli olarak genişletilebilir $\overline U$.