Süreklilik hipotezini zorlayabileceğimiz gerçeği, süreklilik hipotezini neden doğrudan kanıtlamıyor?
Nick Weaver's Forcing for Mathematicians okuyorum ve Bölüm 12'de ("Forcing CH") şununla başlıyor (s. 45 - 46):
(Buradaki her şey göreceli $M$ - kitabında bir ZFC modelidir).
İzin Vermek $P_1$ tüm kısmi işlevlerin kümesi $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ -e $\aleph_1$ (ki bu zorlayıcı bir kavramdır) ve izin ver $G$ genel bir ideali olmak $P_1$. Unsurlarından beri$G$ tutarlı olması gereken işlevlerdir (çünkü $G$ bir idealdir) bir işlev oluşturmak için bunların birleşimini alabilirsin $\tilde{f}$ alt kümesinden $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ bir alt kümeye $\aleph_1$.
Daha sonra şunu kanıtlıyor:
- $\tilde{f}$ bir alt kümeden bir eşleme (sadece bir işlev değil) $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ bir alt kümeye $\aleph_1$ çünkü tutarlı önyargıları bir araya getirmek size bir önyargı verir.
- Etki alanı $\tilde{f}$ hepsi $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ dan beri $G$ geneldir.
- Aralığı $\tilde{f}$ hepsi $\aleph_1$ dan beri $G$ geneldir.
Anlayabildiğim kadarıyla herhangi bir model verildiğinde $M$ ZFC'nin (yani ZFC'nin sahip olduğu herhangi bir set), $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ -e $\aleph_1$ ve bu nedenle süreklilik hipotezi doğrudur.
Onun hakkında konuşmaya devam ettiğini biliyorum $M[G]$ ama söyleyebileceğim kadarıyla herhangi $M[G]$ sadece başka bir ZFC modelidir ve pekala bizim seçtiğimiz set olabilirdi $M$.
Yanıtlar
Ama bijeksiyon $\widetilde f$ içinde değil $M$, bütün mesele bu. İçinde$M[G]$. Gösterdikleriniz yalnızca her model için$\sf ZFC$daha büyük bir model var $\sf CH$ doğru.
Bunu gerçekten görmek için $\widetilde f\notin M$, herhangi bir işlev verildiğine dikkat edin$g\colon \mathcal P(\Bbb N)\to\omega_1$yoğun koşullar var $p$ öyle ki $p\nsubseteq g$. Bu nedenle jenerik olarak,$\widetilde f\neq g$. Eğer$\widetilde f$ içindeki herhangi bir işleve eşit değildir $M$, o zaman içinde olamaz $M$.
(Bu, daha genel olarak, bir zorlamanın önemsiz olduğu durumlarda, zemin modelinde genel filtrelerin bulunmamasının nedenidir.)
Buradaki anahtar şudur: $G$ jenerik olması gerekiyor $M$ve sonuç olarak $G \not\in M$.
Fark ettiğiniz gibi, aşağıdakileri içeren bir ZFC modeli yapabilirseniz $G$ ve hangisiyle aynı fikirde $M$ ne hakkında $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ve $\aleph_1$Öyleyse bu modelde CH tutacaktır. Zorlama bize böyle bir modelin nasıl inşa edileceğini söyler ve dolayısıyla bize bir model verildiğini gösterir.$M$CH'nin tuttuğu bir model yapabiliriz. Bu, ZFC + CH'nin göreceli tutarlılığını göstermemizi sağlar, ancak CH'yi kanıtlamaz.
Mevcut cevaplara birkaç nokta eklememe izin verin:
Birincisi, mevcut cevaplarda bahsedilmeyen kilit bir nokta var: jeneriklerin her zaman mevcut olmadığına dikkat etmek önemlidir . Varoluşumuz sadece$M$olduğu sayılabilir . Yani ifade
Her $M\models\mathsf{ZFC}$ bazılarının alt modeli $N\models\mathsf{ZFC+CH}$
gerçekten doğru değil - sayılabilir olarak sınırlamamız gerekiyor $M$s. Gerçekten, eğer$\mathsf{CH}$ gerçekte yanlış ise o zaman biraz var $M$ tatmin edici son uzantı yok $\mathsf{CH}$: yani, tüm gerçekleri içeren herhangi bir model.
Birkaç yan yorum:
"Sayılabilir her $M\models\mathsf{ZFC}$ sayılabilir bir alt modeldir $N\models\mathsf{ZFC+CH}$" Olduğunu içten bütün recursions çalışıyor '- Bu açık değildir biz sağlam temelli olması bu sayılabilen modelleri gerekmez, ancak göstermek zor değil ve iyi bir egzersizdir! True'.
Biz olabilir aslında keyfi modellerin uzantıları zorlayarak bahsetmek (ve$V$Boolean değerli model yaklaşımı aracılığıyla zorlama için kendisi!) . Örneğin Jech'te alınan yaklaşım budur. Bununla birlikte, büyüleyici ve önemli olmakla birlikte, bence poset yaklaşımından önemli ölçüde daha az sezgisel.
İkincisi, pedagojik değer için, öneminin olduğu bir örnek vereyim $G\not\in M$ daha bariz bir şekilde, yani Levy'nin çöküşü $Col(\omega,\omega_1)$.
$Col(\omega,\omega_1)$ yapmak için en basit zorlamadır $\omega_1$ sayılabilir: sonlu kısmi fonksiyonlardan oluşur $\omega\rightarrow\omega_1$, beklendiği gibi ters uzatma ile sıralanmıştır. Her biri için$\alpha\in\omega_1$ set $\{p: \alpha\in ran(p)\}$ yoğun, genel $G$ (veya daha doğrusu, koşulların böyle bir $G$) bir surjeksiyondur $\omega$ -e $\omega_1$.
Daha doğrusu ve basitlik için sayılabilir geçişli modellerle sınırlandırarak, elimizde:
Eğer $M$ sayılabilir bir geçiş modelidir $\mathsf{ZFC}$ ve $G$ dır-dir $Col(\omega,\omega_1^M)$-generik bitti $M$ sonra $M[G]\models\omega\equiv\omega_1^M$.
Ama aksine $\mathsf{CH}$"Aynı model" fenomenine sahip olamayacağımız açıktır: $M\models\mathsf{ZFC}$ öyle ki $M\models \omega\equiv\omega_1^M$. Öyleyse önce bu örneği düşünmek , zorlanabilirliğin neden genel olarak gerçeği ima etmediğini anlamanıza yardımcı olabilir .
Son olarak olumlu bir notla bitireyim. Yukarıdaki rağmen orada olan bir cümlenin "forceability" onun düpedüz gerçeği ima zaman bazı zamanlar:
Shoenfield'ın mutlaklık teoremi , gerçeğin$\Pi^1_2$ cümleler zorlayarak değiştirilemez, öyleyse $G$ genel bitti $M$ ve $M[G]\models\varphi$ ile $\varphi\in\Pi^1_2$ sonra $M\models\varphi$ve tam tersi (aslında Shoenfield bundan biraz daha fazlasını söylüyor, ama meh). Ancak bu fenomen genel olarak nadirdir.
Özel modeller için $\mathsf{ZFC}$daha güçlü mutlaklık sonuçları elde edebiliriz. Spesifik olarak, güçlü büyük kardinal aksiyomlar daha fazla mutlaklık anlamına gelir (örneğin, doğru hatırlıyorsam, eğer$M\models\mathsf{ZFC}$ + "Sonsuz sayıda Woodin kardinali vardır" ise tüm yansıtmalı cümleler arasında mutlaktır $M$ ve genel uzantıları).
Bununla birlikte, genel olarak mutlaklık oldukça nadirdir ve kesinlikle asla hafife alınmamalıdır.