Tensör Ürününü Bulma [kopya]

Jan 07 2021

İzin Vermek $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

Dır-dir $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$? Bunun doğru olduğuna inanıyorum ama bunu nasıl kanıtlayacağımı bilmiyorum.

Lütfen bana bir fikir / ipucu konusunda yardımcı olun.

Şimdiden teşekkürler.

Yanıtlar

2 QiaochuYuan Jan 07 2021 at 01:38

Bu yanlış. Doğal bir harita var

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

bu, enjekte edici ancak sübjektif değil. Görüntüsü şu alt uzaydan oluşur:$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ paydaları sınırlı olan veya eşdeğer olarak ortak bir payda altına konulabilen dizilerden oluşur (temel olarak $\mathbb{Q}$ yalnızca bir tamsayı dizisinin tamamını ortak bir paydaya bölmenize izin verir) ve bu nedenle, örneğin diziyi içermez $n \mapsto \frac{1}{n}$.

(Öte yandan, bu gruplar soyut olarak izomorfiktir çünkü her ikisi de vektör uzaylarıdır. $\mathbb{Q}$süreklilik boyutu. Temelde aynı şeyi söyleyen bu matematiğe bakın .

Genel olarak, tensör ürününün yalnızca sonlu ürünleri koruması garanti edilir. Bir modülle gerdirmenin, sonlu olarak sunulduğu sürece sonsuz ürünü koruduğunu gösterebilirsiniz (ki$\mathbb{Q}$değil); bkz bu math.SE cevabı .