Toplama çözüm açıklaması

Aug 18 2020

Bir sorunun çözümünü okuyordum ve şunu belirtti: $$\sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \left( \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \frac{a_2}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \dots + \frac{a_7}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} \right) = 7 \sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}}.$$Bunun neden doğru olduğuna dair bir fikrim var - muhtemelen dürüst olmak gerekirse daha çok bir sezgi, ama tam olarak anlamıyorum. Biri açıklayabilir mi? Şimdiden teşekkürler.

Yanıtlar

1 MarkusScheuer Aug 20 2020 at 02:31

Neler olduğunu görmek için çift seriyi düşünmek yeterlidir. Serinin kesinlikle yakınsak olduğunu varsayarsak,

\begin{align*} \color{blue}{\sum_{a_1=0}^{\infty}}\color{blue}{\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1+a_2}{3^{a_1+a_2}}} &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_2}{3^{a_1+a_2}}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_2=0}^{\infty}\sum_{a_1=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_2+a_1}}\tag{1}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=2\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}} \end{align*}

Yorum Yap:

  • (1) 'de en sağdaki çift dizide yeniden adlandırıyoruz $a_1$ ile $a_2$ ve $a_2$ ile $a_1$.

  • (2) 'de onu yeniden sıralıyoruz.