Toplama çözüm açıklaması
Bir sorunun çözümünü okuyordum ve şunu belirtti: $$\sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \left( \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \frac{a_2}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \dots + \frac{a_7}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} \right) = 7 \sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}}.$$Bunun neden doğru olduğuna dair bir fikrim var - muhtemelen dürüst olmak gerekirse daha çok bir sezgi, ama tam olarak anlamıyorum. Biri açıklayabilir mi? Şimdiden teşekkürler.
Yanıtlar
Neler olduğunu görmek için çift seriyi düşünmek yeterlidir. Serinin kesinlikle yakınsak olduğunu varsayarsak,
\begin{align*} \color{blue}{\sum_{a_1=0}^{\infty}}\color{blue}{\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1+a_2}{3^{a_1+a_2}}} &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_2}{3^{a_1+a_2}}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_2=0}^{\infty}\sum_{a_1=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_2+a_1}}\tag{1}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=2\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}} \end{align*}
Yorum Yap:
(1) 'de en sağdaki çift dizide yeniden adlandırıyoruz $a_1$ ile $a_2$ ve $a_2$ ile $a_1$.
(2) 'de onu yeniden sıralıyoruz.