Toplamı olan Yönlendirilmiş Açılarla ilgili problem ${\pi \over 2}$.

Aug 18 2020

Kitabımda (EGMO Lemma 1.30), karşıma çıktığında yazarın yönlendirilmiş açıların kullanımlarını tartıştığı bir bölümü çözüyordum.

Puanlar $A, B, C$ merkezi olan bir daire üzerine uzanmak $O$. Olduğunu göstermektedir$\measuredangle$ $OAC$ = $90^\circ$ - $\measuredangle$ $CBA$.

Yönlü açıyı göstermeme izin verin $\measuredangle$.(her yerde)

İşte bir girişim; yazar mavi olarak yönlendirilen açılardan bahseder ve bunların toplamlarının yarıya indirildiği$\pi$radyan. Kırmızı çizgiler benim kendi yapımdır.

Yönlendirilmiş açılarla bunu biliyoruz $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(yazılı açı teoremi).
Ve ayrıca$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (üçgen $OAC$ ikizkenar).

Şimdi yönlendirilmiş açıların bir teoremine göre, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Ama bundan sonra modulo çalışıyoruz $\pi$ radyan, çarpmak veya bölmek anlaşılmaz $2$, ki bunu yapmam gerekiyor, bu yüzden girişimim başarısız oldu.

Cevaplar çok şükür.

Yanıtlar

1 AnindyaPrithvi Aug 18 2020 at 23:34

Yönlendirilmiş açılarla bunu biliyoruz $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(yazılı açı teoremi).
Ve ayrıca$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (üçgen $OAC$ ikizkenar).

Şimdi yönlendirilmiş açıların bir teoremine göre, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Bundan sonra yazabiliriz $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ ve yeniden ikame $\measuredangle$ $COA$ gibi $2\times \measuredangle$ $CBA$

Biz alırız $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

yazmakla eşdeğer olan $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

Her iki tarafı da $2$ve almaya devam et $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ = $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$

using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)

Dolayısıyla kanıtladı.