Trigonometride belirli açık ve önemsiz sonuçları kanıtlama gerekliliği?

Question

Şu anda lise ikinci sınıf trigonometrisi yapıyorum ama bu sadece aklıma gelen bir şey.

Aşağıdaki şekil dik açılı bir üçgeni göstermektedir $ABC$, nerede $\angle A = \alpha$, $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$ veya $90^\circ$.

Şimdi, trigonometriye girişte, bir açının trigonometrik fonksiyonları, dik açılı bir üçgenin oranları veya kenarları olarak tanımlanır. Örneğin :$\sin\alpha = \dfrac{BC}{AC}$.

Trigonometriyi öğrendiğim ders kitabında ilk birkaç sayfanın içeriği şunlardı:

Trigonometri nedir?

Matematiğin diğer alanlarında ve Matematiğin dışındaki uygulamalar

Trigonometrik fonksiyonların (veya oranların) tanımı

Örnekler ve sorular

İlk örnek şöyleydi:

Size iki üçgen verilir. Bu üçgenler olsun$XYZ$ ve $PQR$. Bu üçgenlerin ikisi de dik açılı üçgenlerdir.$\angle Y = \angle Q = 90^\circ$. Ayrıca,$\angle X = \angle P$. Bu iki açı eşit olsun$\varphi$. Şimdi,$XZ = 5 \text{ units}$, $YZ = 3 \text{ units}$ ve $PR = 10 \text{ units}$. Bul$QR$.

Çözüm şöyleydi: $$\sin\varphi = \dfrac{\text{Perpendicular}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{3}{5} \text{, obtained from } \Delta XYZ$$ $$\text{From }\Delta PQR \text{, } \sin\varphi = \dfrac{QR}{10}$$ $$\therefore \sin\varphi ~ \dfrac{3}{5} = \dfrac{QR}{10} \implies QR = \dfrac{10 \cdot 3}{5} = 6 \text{ units}$$

Sanırım bundan önce. aşağıdaki ifade ispatlanmalıydı:

Bir açının trigonometrik oranları benzersizdir ve seçilen üçgene bağlı değildir.

Bunun sinüsünü kanıtlamadan bu çözümün geçerli olacağını sanmıyorum. $\varphi$her iki üçgenden elde edilen benzersizdir. Yukarıda bahsettiğim ifade benzerlik kullanılarak kolayca ispatlanabilir ama bu soruda sormak istediğim şu: "Açık ve önemsiz olduğu varsayılan bu tür ifadeler, verdiğim örnek gibi sorulara girmeden önce ispatlanmalı mı? bu örnek için çözüm, bu ifade önceden kanıtlanmadıysa geçersiz sayılabilir mi? "

Teşekkür ederim!

Answer 1

Trigonometrik fonksiyonları tanıtmadan önce, sınıf uygunluk ve benzerlik ile ilgilenecektir. Eş üçgenler eşit kenarlara ve eşit açılara sahiptir ve benzer üçgenler eşit açılara sahipken, kenarlar aynı faktörle ölçeklenir$>0$. Öğrenciler bu gerçekleri kabul ettiğinde, birleşiklik sorunu yoktur.$\sin\alpha$ ne zaman $0\leq\alpha\leq{\pi\over2}$.

Elbette asıl sorun, kenar uzunlukları ve açılar arasındaki "gizli" bağımlılıktır. Bu bağımlılık aksiyomatik öklid geometrisi ile ele alınmaz.