Trigonometrik olmayan kanıt: $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.

Question

Bu soru daha önce sorulmuştu, ancak cevap, kaçınmak istediğim trigonometri ve Stewart teoremini içeren çözümü veriyor.

Bir üçgen içinde $\triangle ABC$, noktadan açıortay $A$ kesişir $\overline {BC}$ noktasında $D$. Kanıtlamak:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.

---

Benim yaklaşımım:

İzin Vermek $c$ çevresi olmak $\triangle ABC$ ve izin ver $E$ çizginin kesişimi olmak $AD$ ve daire $c$.

Aşağıdakileri elde ederiz:

$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

Diğer taraftan:

$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

En sonunda,

$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$

Resim:

---

Bunun geçerli olup olmadığını sorabilir miyim? Öyleyse, kanıtımı geliştirmek için yapabileceğim herhangi bir şey var mı?

Şimdiden teşekkür ederim!

Answer 1

İkinci adıma ($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$iyi bilinen bir teoremdir ( Kesişen Akorlar Teoremi ), bu yüzden kendiniz kanıtlamak yerine ona başvurabilirsiniz. Bunun dışında, bu kanıt tamamen geçerli ve çok kısa olduğu için nasıl geliştirilebileceğini göremiyorum.