Tüm noktalarında kaybolan bir polinom olduğunu kanıtlayın. $X$ cebirsel eğri

Question

İzin Vermek $X \subset \mathbb{A}^3$ cebirsel bir eğri olsun ve varsayalım $X$ paralel bir çizgi içermez $z$- eksen. Sıfır olmayan bir polinom olduğunu kanıtlayın$f(x,y)$ her noktasında kaybolmak $X$.

Bu sorunun boyutsal bir argüman gerektirdiğini düşünüyorum ve daha kesin olmak gerekirse aşağıdaki sonucu uygulamayı düşünüyordum:

Eğer $X$ indirgenemez $n$- boyutsal yarı hedefli çeşitlilik ve $Y \subset X$ sıfırlar kümesi $m$ formlar $X$, sonra boş olmayan her bileşeni $Y$ boyut var $\geq n -m$.

Yani benim durumumda $X$ boyut var $n= 1$ çünkü cebirsel bir eğridir, $m = 1$ ve $Y$ sıfırlar kümesidir $f$. Bu şekilde, her bileşenini elde ederim$Y$ boyut var $\geq 0$. Yani öyle görünüyor$f$ bazı noktalarda kaybolur $X$ve kavşak asla boş değildir. Egzersizi kanıtlamak için bunu kanıtlamalıyım$\dim Y = 1$. Buradan nasıl hareket edeceğimi bilmiyorum ve bu noktaya kadar muhakememin doğruluğundan emin değilim.

Answer 1

Sezgisel olarak, böyle bir polinomu bulmanın yolu, eğrinin izdüşümünü dikkate almaktır. $X$ üzerine $xy$-düzlem ve sonra bu izdüşümün görüntüsünde kaybolan bir polinom bulun. Bu bir polinom olacak$x$ ve $y$ bu izdüşümün tüm dikey lifleri boyunca sabittir ve bu nedenle $X$.

Böyle bir polinom oluşturmak için, $I(X)$ ve Al $f_1,\cdots,f_n$ bir jeneratör seti olarak $f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. Şartıyla$X$ içinde bir eğri $\Bbb A^3$, $n$ en azından $2$(boyutun önemli olduğu tek yer burasıdır). Eğer ikisinden biri$f_1$ veya $f_2$ sadece bir polinomdur $x$ ve $y$, biz bitirdik. Aksi takdirde, sonucunu kullanabiliriz$f_1$ ve $f_2$ göre $z$ sadece bir polinom üretmek $x$ ve $y$ her yerde kaybolan $f_1$ ve $f_2$ do: özellikle, böyle bir polinom yok olmalıdır $X$.