$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, riemann başlangıç ​​verileriyle trafik akış denklemi için karakteristikler yöntemi

Jan 08 2021

Korunmayan denklemi ele alıyoruz$$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$nerede$a$bir sabittir ve$f(u)=u(1-u)$.

Bu denklemi başlangıç ​​koşulu ile karakteristikler yöntemiyle çözmeye çalışıyorum.$$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$Özellikler yöntemine göre,$\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, bu özellik denkleminin olduğu anlamına gelir$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$ile birlikte$\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$

Bu denklemleri çözerek$u(x,t)=ax+ g(t)$nerede$g$bir işlevidir$t$tek başına. Nasıl devam edeceğimi bilmiyorum.

denklemimiz varken bunu çözebildim$$u_t+(f(u))_x=0$$orada olduğu gibi$u$özellikler çizgisi boyunca sabitti. Herhangi bir yardım için şimdiden teşekkürler.

Yanıtlar

3 EditPiAf Jan 09 2021 at 22:39

İlk verilerin$u(x,0)$gelen bir sıçrama süreksizliğinden oluşur$u_l$ile$u_r$, dolayısıyla bu başlangıç ​​değer problemi bir Riemann problemidir . Popüler Lighthill-Witham-Richards (LWR) trafik akış modeli şu durumlarda kurtarılır:$a=0$ve ilgili Riemann çözümü bu gönderide açıklanmıştır . Keyfi meselesini ele alalım$a$, örneğin bu gönderiye benzer bir yaklaşım izleyerek . Ayar$v = 1 - 2u$PDE sağlar$$ v_t + vv_x = -2av $$karakteristik yönteminin verdiği$v = c_1e^{-2at}$,$\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$ve$$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$bu, @Dmoreno tarafından verilen cevapta bulunan çözüme eşdeğerdir. Bununla birlikte, süreksiz ilk veriler için, karakteristikler yöntemi yeterli değildir (yalnızca şu durumlarda geçerlidir:$u$pürüzsüz). Bu nedenle, zayıf anlamda bu sorunu çözmek için uygun yöntemleri kullanıyoruz, ilgili yazıya bakın . Burada şok dalgası çözümünü buluyoruz$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$Eğer$v_l > v_r$, ve seyrekleşme dalgası çözümü$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$Eğer$v_l < v_r$. Biri aynı çözümü kontrol edebilir$u = \frac{1-v}2$ilk PDE problemini doğrudan (değişkenleri değiştirmeden) ele alarak elde edilir.

1 Dmoreno Jan 08 2021 at 18:21

İtibaren$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$alırsın$u - ax = c_1$, ve$a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$elde edersin$u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. İzin vermek$c_2 = f(c_1)$için örtük bir çözüm elde etmek için$u$, denklem tarafından belirlenir

$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$

Şimdi eldeki görev belirlemektir$f$başlangıç ​​koşulundan ve sonunda$u$. Buradan alabilir misin?