Üçgen olmadan bir çokgeni sarmak
Aşağıdaki Laman grafiği , üçgen içermeyen bir kareyi destekler. Başka bir şekilde ifade edilirse, bu 3 döngü içermeyen birim mesafeli katı bir grafiktir. Üçgensiz çaprazlı çokgenin en küçük örneği gibi görünüyor . Bu, birim çubukların küp grafiğinin bir alt grafiği olur.
Başka hangi normal çokgenlerin üçgensiz sert yapıları vardır?
Yanıtlar
Herhangi bir katı çerçeve, dolayısıyla tüm normal çokgenler, üçgensiz bir eşdeğerine dönüştürülebilir. Basitçe zincirleme kopyaları$12$-vertex üçgeni içermeyen çaprazlı kare (keşfettiğim) soruda gösterilen iki eşdoğrusal kenar boyunca, üçgen içermeyen rastgele tam sayı uzunluğuna sahip katı bir çizgi parçası verir:
Daha sonra herhangi bir üçgen ızgara, üçgenler olmadan aşağıdaki gibi taklit edilebilir (tüm düz fuşya kenarları, yukarıdaki grafik zincirleme yapısıyla yapılır, tüm siyah kenarlar tek çubuklardır):
Örneğin, altıgeni üçgenler olmadan desteklemek için:
Bununla birlikte, yukarıdaki altıgen destek oldukça büyüktür. Üçgensiz desteklemeye başka bir yaklaşım sanal kenardır : kübik grafiğin bir kenarı kaldırılmış herhangi bir gömülmesinde, iki derece arasındaki mesafe-$2$ köşeler (eksik kenarla ilgili olay) her zaman $1$. Bu, aşağıdaki üçgensiz sert düzenli altıgene götürür.$16$ köşeler ve $29$kenarlar ( Shibuya kesin kanıtı ):
Yukarıda gösterilen iki versiyon grafik teorik olarak izomorfiktir; koordinatları aynı minimum polinomlara sahiptir. Özellikle, Shibuya'daki parametrizasyonu kullanarak,$x$köşe koordinatı $7$ tatmin eder $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$( İlk polinomu elde etmeme izin veren GAP fonksiyonunu gösterdiği için Hulpke'ye teşekkürlerDecomPoly .) İkinci versiyondaki soluk çizgiler, katı grafiğin sırayla ilişkili olduğunu gösteriyor.$4$ hiperküp grafiği.
Parcly Taxel'in cevabına bir ek olarak, onun altıgen destekleri, 2DOF altıgen desteklerin bütün bir ailesinin bir alt kümesidir. İşte bu ailenin özellikle simetrik iki üyesi. (Noktalı çizgiler, kenar olarak dahil edilmeyen birim ayrımlarını gösterir.)
